Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán đại số khá thú vị và đòi hỏi sự tinh tế trong biến đổi. Bài toán có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách phân tích và vận dụng các hằng đẳng thức một cách khéo léo, bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

Đề bài: Cho \(a,b,c >0\) thỏa mãn điều kiện \(a+b+c+2\sqrt{abc}=1\).
Hãy tính giá trị của biểu thức \(S = \sum \sqrt{a(1-b)(1-c)} – \sqrt{abc} + 2026\).

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích bài toán nhé!

Bước 1: Đặt ẩn phụ để đơn giản hóa biểu thức

Để tiện cho việc tính toán và nhìn rõ hơn mối quan hệ giữa các biến, chúng ta hãy đặt các ẩn phụ là căn bậc hai của \(a, b, c\):

\(x = \sqrt{a}\)
\(y = \sqrt{b}\)
\(z = \sqrt{c}\)

Vì \(a, b, c > 0\), nên \(x, y, z\) cũng sẽ là các số dương. Từ đây, chúng ta có \(a = x^2, b = y^2, c = z^2\).

Thay các giá trị này vào điều kiện đã cho:
\(x^2+y^2+z^2+2\sqrt{x^2y^2z^2}=1\)
Vì \(x,y,z > 0\), nên \(\sqrt{x^2y^2z^2} = xyz\).
Vậy, điều kiện trở thành: \(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\). (Đây là một hằng đẳng thức rất quan trọng trong bài toán này!)

Bây giờ, chúng ta viết lại biểu thức cần tính \(S\) theo \(x, y, z\):
\(S = \sum \sqrt{x^2(1-y^2)(1-z^2)} – \sqrt{x^2y^2z^2} + 2026\)
\(S = \sum x\sqrt{(1-y^2)(1-z^2)} – xyz + 2026\) (Vì \(x>0\))

Bước 2: Phân tích các hạng tử trong tổng

Chúng ta hãy tập trung vào một hạng tử tổng quát trong tổng, ví dụ: \(x\sqrt{(1-y^2)(1-z^2)}\).
Để tính được căn bậc hai, chúng ta cần tìm cách biến đổi \((1-y^2)(1-z^2)\) thành một bình phương.

Từ điều kiện \(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\), chúng ta có thể suy ra các mối quan hệ sau:

\(1-y^2 = x^2+z^2+2xyz\) (Chuyển \(y^2\) sang vế phải của 1, và lấy điều kiện trừ đi \(y^2\))
\(\rightarrow 1-y^2 = x^2+z^2+2xz \cdot y\)

\(1-z^2 = x^2+y^2+2xyz\) (Tương tự, chuyển \(z^2\) sang vế phải của 1, và lấy điều kiện trừ đi \(z^2\))
\(\rightarrow 1-z^2 = x^2+y^2+2xy \cdot z\)

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét tích \((1-y^2)(1-z^2)\):

\((1-y^2)(1-z^2) = (x^2+z^2+2xyz)(x^2+y^2+2xyz)\)

Hãy nhớ lại điều kiện \(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\). Chúng ta có thể viết \(1 – y^2 – z^2 = x^2+2xyz\).
Liệu có mối liên hệ nào giúp đơn giản hóa tích này không?

Một hằng đẳng thức đặc biệt mà chúng ta có thể sử dụng ở đây là:
Nếu \(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\), thì \((1-y^2)(1-z^2) = (x+yz)^2\).

Chúng ta hãy kiểm tra hằng đẳng thức này:
Vế phải: \((x+yz)^2 = x^2+2xyz+y^2z^2\).
Vế trái: \((1-y^2)(1-z^2) = 1 – z^2 – y^2 + y^2z^2\).
Để Vế trái bằng Vế phải, chúng ta cần có:
\(1 – y^2 – z^2 + y^2z^2 = x^2+2xyz+y^2z^2\)
\(1 – y^2 – z^2 = x^2+2xyz\)
\(1 = x^2+y^2+z^2+2xyz\).
Chính xác! Đây chính là điều kiện đã cho của bài toán. Như vậy, hằng đẳng thức \((1-y^2)(1-z^2) = (x+yz)^2\) là đúng.

Bước 3: Rút gọn từng hạng tử của tổng

Với hằng đẳng thức vừa tìm được, chúng ta có thể rút gọn căn bậc hai:

\(\sqrt{(1-y^2)(1-z^2)} = \sqrt{(x+yz)^2} = |x+yz|\)
Vì \(x, y, z > 0\), nên \(x+yz\) luôn dương. Do đó, \(|x+yz| = x+yz\).

Bây giờ, chúng ta có thể tính hạng tử đầu tiên trong tổng \(S\):

\(x\sqrt{(1-y^2)(1-z^2)} = x(x+yz) = x^2+xyz\).

Do tính đối xứng của biểu thức, chúng ta có thể suy ra các hạng tử còn lại:

\(y\sqrt{(1-x^2)(1-z^2)} = y(y+xz) = y^2+xyz\). (Thay \(y\) vào vị trí của \(x\), \(x\) vào vị trí của \(y\), và \(z\) giữ nguyên.)
\(\sqrt{b(1-a)(1-c)} = b + \sqrt{abc}\)

\(z\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)} = z(z+xy) = z^2+xyz\). (Thay \(z\) vào vị trí của \(x\), \(x\) vào vị trí của \(z\), và \(y\) giữ nguyên.)
\(\sqrt{c(1-a)(1-b)} = c + \sqrt{abc}\)

Bước 4: Tính tổng các hạng tử và giá trị cuối cùng

Tổng \(\sum x\sqrt{(1-y^2)(1-z^2)}\) sẽ là:

\((x^2+xyz) + (y^2+xyz) + (z^2+xyz)\)
\(= x^2+y^2+z^2+3xyz\).

Thay lại \(a, b, c\):

\(\sum \sqrt{a(1-b)(1-c)} = a+b+c+3\sqrt{abc}\).

Cuối cùng, thay kết quả này vào biểu thức \(S\):

\(S = (a+b+c+3\sqrt{abc}) – \sqrt{abc} + 2026\)
\(= a+b+c+3\sqrt{abc} – \sqrt{abc} + 2026\)
\(= a+b+c+2\sqrt{abc} + 2026\).

À, chúng ta thấy điều kiện ban đầu xuất hiện trở lại!
Theo đề bài, \(a+b+c+2\sqrt{abc}=1\).

Vậy, chúng ta thay giá trị này vào biểu thức \(S\):

\(S = 1 + 2026\)
\(= 2027\).

Kết luận:

Vậy giá trị của biểu thức \(S\) là \(2027\).

Bài toán này đã dạy chúng ta một bài học quý giá về cách sử dụng ẩn phụ và nhận diện các hằng đẳng thức đặc biệt để đơn giản hóa bài toán. Chúc các em học tốt!