Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thực tế rất hay về năng suất công việc, hay cụ thể hơn là bài toán “hai vòi nước chảy chung”. Đây là dạng toán thường gặp trong các kì thi, đòi hỏi chúng ta phải tư duy logic và biến đổi khéo léo. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Phân tích đề bài:

Bài toán cho chúng ta hai thông tin quan trọng:

1. Khi hai vòi cùng chảy vào một bể không có nước thì bể đầy trong 1 giờ 20 phút.
2. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì được \( \frac{2}{15} \) bể nước.

Yêu cầu của đề bài là tính thời gian mỗi vòi chảy riêng đầy bể.

Bước 1: Đổi đơn vị thời gian về cùng một đơn vị

Chúng ta thấy thời gian được cho dưới dạng “giờ và phút” và “phút”. Để thuận tiện cho việc tính toán, chúng ta sẽ đổi tất cả về đơn vị phút.

1 giờ 20 phút = \( 60 \text{ phút} + 20 \text{ phút} = 80 \text{ phút} \).

Bước 2: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ gọi thời gian chảy riêng đầy bể của mỗi vòi là các ẩn số.

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là \(a\) (phút).

Điều kiện: \(a > 0\).

Gọi thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là \(b\) (phút).

Điều kiện: \(b > 0\).

Bước 3: Biểu diễn năng suất (hay lượng nước chảy được trong 1 phút) của mỗi vòi

Nếu vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong \(a\) phút, thì trong 1 phút, vòi thứ nhất chảy được \( \frac{1}{a} \) (bể).

Nếu vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong \(b\) phút, thì trong 1 phút, vòi thứ hai chảy được \( \frac{1}{b} \) (bể).

Bước 4: Lập hệ phương trình dựa trên các thông tin đã cho

Dựa vào thông tin thứ nhất: Hai vòi chảy chung đầy bể trong 80 phút.

Trong 1 phút, cả hai vòi cùng chảy được \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \) (bể).

Vì cả hai vòi cùng chảy đầy bể trong 80 phút, nên trong 1 phút, hai vòi chảy được \( \frac{1}{80} \) (bể).

Từ đó, ta có phương trình thứ nhất:

\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{80} \) (1)

Dựa vào thông tin thứ hai: Mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì được \( \frac{2}{15} \) bể nước.

Trong 10 phút, vòi thứ nhất chảy được: \( 10 \times \frac{1}{a} = \frac{10}{a} \) (bể).

Trong 12 phút, vòi thứ hai chảy được: \( 12 \times \frac{1}{b} = \frac{12}{b} \) (bể).

Tổng lượng nước chảy được là \( \frac{2}{15} \) bể. Vậy, ta có phương trình thứ hai:

\( \frac{10}{a} + \frac{12}{b} = \frac{2}{15} \) (2)

Bước 5: Giải hệ phương trình

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình sau:

1) \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{80} \)
2) \( \frac{10}{a} + \frac{12}{b} = \frac{2}{15} \)

Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể đặt ẩn phụ để đơn giản hóa bài toán.

Đặt \( x = \frac{1}{a} \) và \( y = \frac{1}{b} \). (Điều kiện \(x > 0, y > 0\))

Hệ phương trình trở thành:

A) \( x + y = \frac{1}{80} \)
B) \( 10x + 12y = \frac{2}{15} \)

Từ phương trình (A), ta rút \( x \) theo \( y \):

\( x = \frac{1}{80} – y \)

Thay biểu thức của \( x \) vào phương trình (B):

\( 10 \left( \frac{1}{80} – y \right) + 12y = \frac{2}{15} \)

\( \frac{10}{80} – 10y + 12y = \frac{2}{15} \)

\( \frac{1}{8} + 2y = \frac{2}{15} \)

\( 2y = \frac{2}{15} – \frac{1}{8} \)

Để trừ hai phân số, chúng ta quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của 15 và 8 là 120.

\( 2y = \frac{2 \times 8}{15 \times 8} – \frac{1 \times 15}{8 \times 15} \)

\( 2y = \frac{16}{120} – \frac{15}{120} \)

\( 2y = \frac{1}{120} \)

\( y = \frac{1}{120 \times 2} \)

\( y = \frac{1}{240} \)

Bây giờ, thay giá trị của \( y \) vào biểu thức của \( x \):

\( x = \frac{1}{80} – y \)

\( x = \frac{1}{80} – \frac{1}{240} \)

Quy đồng mẫu số chung nhỏ nhất của 80 và 240 là 240.

\( x = \frac{3}{240} – \frac{1}{240} \)

\( x = \frac{2}{240} \)

\( x = \frac{1}{120} \)

Bước 6: Tìm lại giá trị của \(a\) và \(b\)

Chúng ta có \( x = \frac{1}{a} \) và \( y = \frac{1}{b} \).

Với \( x = \frac{1}{120} \), suy ra \( \frac{1}{a} = \frac{1}{120} \Rightarrow a = 120 \).

Với \( y = \frac{1}{240} \), suy ra \( \frac{1}{b} = \frac{1}{240} \Rightarrow b = 240 \).

Bước 7: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Các giá trị \(a = 120\) và \(b = 240\) đều thỏa mãn điều kiện \(a > 0, b > 0\).

Vậy, thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là 120 phút.

Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là 240 phút.

Kết luận:

Vậy, thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là 120 phút.

Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là 240 phút.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm rõ cách giải dạng bài toán năng suất này. Chúc các em học tốt!