Bài toán: Người ta cho vào nhiệt lượng kế một hỗn hợp m1 = 2 kg nước ở nhiệt độ t1 = 25°C và m2 = 6kg nước đá ở nhiệt độ t2 = -20°C. Bỏ qua sự tỏa nhiệt ra môi trường xung quanh và nhiệt dung của nhiệt lượng kế. Xác định nhiệt độ cân bằng t của hỗn hợp khi đó? Biết nhiệt dung riêng của nước, của nước đá và nhiệt nóng chảy của nước đá lần lượt là C1 = 4,2 kJ/kg.K; C2 = 2,1 kJ/kg.K và λ = 340 kJ/Kg.

Phân tích và Tóm tắt đề bài:

• Khối lượng nước ban đầu: \(m_1 = 2\) kg
• Nhiệt độ nước ban đầu: \(t_1 = 25\)°C
• Khối lượng nước đá ban đầu: \(m_2 = 6\) kg
• Nhiệt độ nước đá ban đầu: \(t_2 = -20\)°C
• Nhiệt dung riêng của nước: \(C_1 = 4,2\) kJ/kg.K
• Nhiệt dung riêng của nước đá: \(C_2 = 2,1\) kJ/kg.K
• Nhiệt nóng chảy riêng của nước đá: \(\lambda = 340\) kJ/kg
• Yêu cầu: Tìm nhiệt độ cân bằng \(t\).
• Giả định: Bỏ qua mất mát nhiệt ra môi trường và nhiệt dung của nhiệt lượng kế.

Phương pháp giải:

Đối với các bài toán cân bằng nhiệt có kèm theo sự chuyển pha, chúng ta thường phải xét các trường hợp có thể xảy ra cho nhiệt độ cân bằng cuối cùng. Trạng thái 0°C là điểm mốc quan trọng vì tại đó có sự chuyển pha giữa nước và nước đá.

Chúng ta sẽ xét ba khả năng chính cho nhiệt độ cân bằng \(t\):

1. Nhiệt độ cân bằng \(t > 0\)°C: Toàn bộ nước đá tan thành nước.
2. Nhiệt độ cân bằng \(t < 0\)°C: Toàn bộ nước đóng băng thành nước đá.
3. Nhiệt độ cân bằng \(t = 0\)°C: Hỗn hợp còn cả nước và nước đá.

Chúng ta sẽ dùng phương trình cân bằng nhiệt: “Tổng nhiệt lượng các vật thu vào bằng tổng nhiệt lượng các vật tỏa ra” hoặc “Tổng đại số nhiệt lượng trao đổi bằng 0”, với quy ước nhiệt lượng thu vào mang dấu dương, nhiệt lượng tỏa ra mang dấu âm.

Các bước giải chi tiết:

Bước 1: Dự đoán trạng thái cân bằng.

Để dự đoán, chúng ta sẽ tính các nhiệt lượng cơ bản để đưa các chất về nhiệt độ 0°C:

1.1. Nhiệt lượng nước tỏa ra để hạ nhiệt độ từ \(t_1 = 25\)°C xuống \(0\)°C:

\(Q_{\text{nước_tỏa}} = m_1 \cdot C_1 \cdot (t_1 – 0)\)

\(Q_{\text{nước_tỏa}} = 2 \cdot 4,2 \cdot (25 – 0) = 2 \cdot 4,2 \cdot 25 = 210\) kJ

1.2. Nhiệt lượng nước đá thu vào để tăng nhiệt độ từ \(t_2 = -20\)°C lên \(0\)°C:

\(Q_{\text{đá_thu}} = m_2 \cdot C_2 \cdot (0 – t_2)\)

\(Q_{\text{đá_thu}} = 6 \cdot 2,1 \cdot (0 – (-20)) = 6 \cdot 2,1 \cdot 20 = 252\) kJ

So sánh:

Ta thấy \(Q_{\text{nước_tỏa}} = 210\) kJ nhỏ hơn \(Q_{\text{đá_thu}} = 252\) kJ. Điều này có nghĩa là lượng nhiệt mà nước tỏa ra khi hạ nhiệt độ xuống 0°C không đủ để làm toàn bộ nước đá tăng nhiệt độ lên 0°C.

Do đó, nhiệt độ cân bằng cuối cùng của hỗn hợp không thể lớn hơn 0°C.

Vậy, ta tiếp tục kiểm tra xem liệu nhiệt độ cân bằng có phải là 0°C hay thấp hơn 0°C.

Bước 2: Xét các trường hợp cho nhiệt độ cân bằng.

Trường hợp 1: Giả sử nhiệt độ cân bằng \(t > 0\)°C (toàn bộ nước đá tan chảy).

Để toàn bộ nước đá tan chảy, nó cần thu vào nhiệt lượng sau:

• Để tăng nhiệt độ từ -20°C lên 0°C: \(Q_{\text{đá_lên_0}} = m_2 \cdot C_2 \cdot (0 – (-20)) = 6 \cdot 2,1 \cdot 20 = 252\) kJ
• Để tan chảy hoàn toàn tại 0°C: \(Q_{\text{tan_chảy}} = m_2 \cdot \lambda = 6 \cdot 340 = 2040\) kJ
• Để nước (từ đá tan chảy) tăng nhiệt độ từ 0°C lên \(t\): \(Q_{\text{nước_tăng_t}} = m_2 \cdot C_1 \cdot (t – 0) = 6 \cdot 4,2 \cdot t = 25,2t\) kJ

Tổng nhiệt lượng thu vào của hệ nước đá: \(Q_{\text{thu}} = 252 + 2040 + 25,2t = 2292 + 25,2t\) (kJ)

Nước ban đầu sẽ tỏa nhiệt để hạ nhiệt độ từ 25°C xuống \(t\):

• \(Q_{\text{tỏa}} = m_1 \cdot C_1 \cdot (25 – t) = 2 \cdot 4,2 \cdot (25 – t) = 8,4 \cdot (25 – t) = 210 – 8,4t\) (kJ)

Áp dụng phương trình cân bằng nhiệt \(Q_{\text{thu}} = Q_{\text{tỏa}}\):

\(2292 + 25,2t = 210 – 8,4t\)

\(25,2t + 8,4t = 210 – 2292\)

\(33,6t = -2082\)

\(t = -\frac{2082}{33,6} \approx -62\)°C

Kết quả \(t \approx -62\)°C này mâu thuẫn với giả định ban đầu \(t > 0\)°C. Vậy, trường hợp này không xảy ra.

Trường hợp 2: Giả sử nhiệt độ cân bằng \(t < 0\)°C (toàn bộ nước đóng băng).

Nước ban đầu sẽ tỏa nhiệt để hạ nhiệt độ từ 25°C xuống 0°C, sau đó đóng băng hoàn toàn, rồi hạ nhiệt độ (ở dạng đá) từ 0°C xuống \(t\):

• Để hạ nhiệt độ từ 25°C xuống 0°C: \(Q_{\text{nước_xuống_0}} = m_1 \cdot C_1 \cdot (25 – 0) = 2 \cdot 4,2 \cdot 25 = 210\) kJ
• Để đóng băng hoàn toàn tại 0°C: \(Q_{\text{đóng_băng}} = m_1 \cdot \lambda = 2 \cdot 340 = 680\) kJ
• Để nước (đã đóng băng) hạ nhiệt độ từ 0°C xuống \(t\): \(Q_{\text{đá_hạ_t}} = m_1 \cdot C_2 \cdot (0 – t) = 2 \cdot 2,1 \cdot (-t) = -4,2t\) kJ (Lưu ý: \(t\) là giá trị âm, nên \(-t\) là dương, biểu thị nhiệt lượng tỏa ra)

Tổng nhiệt lượng tỏa ra của hệ nước: \(Q_{\text{tỏa}} = 210 + 680 – 4,2t = 890 – 4,2t\) (kJ)

Nước đá ban đầu sẽ thu nhiệt để tăng nhiệt độ từ -20°C lên \(t\):

• \(Q_{\text{thu}} = m_2 \cdot C_2 \cdot (t – (-20)) = 6 \cdot 2,1 \cdot (t + 20) = 12,6 \cdot (t + 20) = 12,6t + 252\) (kJ)

Áp dụng phương trình cân bằng nhiệt \(Q_{\text{thu}} = Q_{\text{tỏa}}\):

\(12,6t + 252 = 890 – 4,2t\)

\(12,6t + 4,2t = 890 – 252\)

\(16,8t = 638\)

\(t = \frac{638}{16,8} \approx 37,98\)°C

Kết quả \(t \approx 37,98\)°C này mâu thuẫn với giả định ban đầu \(t < 0\)°C. Vậy, trường hợp này cũng không xảy ra.

Bước 3: Kết luận nhiệt độ cân bằng và tính toán trạng thái pha.

Vì cả hai trường hợp giả định \(t > 0\)°C và \(t < 0\)°C đều dẫn đến mâu thuẫn, điều này có nghĩa là nhiệt độ cân bằng cuối cùng của hỗn hợp phải là \(t = 0\)°C.

Khi nhiệt độ cân bằng là \(0\)°C, trong nhiệt lượng kế sẽ tồn tại cả nước và nước đá. Chúng ta cần xác định khối lượng của từng pha.

3.1. Tính nhiệt lượng nước tỏa ra khi hạ nhiệt độ từ \(25\)°C xuống \(0\)°C và đóng băng một phần/toàn bộ.

• Nhiệt lượng nước tỏa ra để hạ nhiệt độ từ 25°C xuống 0°C: \(Q_{\text{nước_tỏa_đến_0}} = 210\) kJ (đã tính ở Bước 1.1)

3.2. Tính nhiệt lượng nước đá thu vào khi tăng nhiệt độ từ \(-20\)°C lên \(0\)°C.

• Nhiệt lượng nước đá thu vào để tăng nhiệt độ từ -20°C lên 0°C: \(Q_{\text{đá_thu_đến_0}} = 252\) kJ (đã tính ở Bước 1.2)

3.3. So sánh lại và xác định lượng chuyển pha:

Vì \(Q_{\text{nước_tỏa_đến_0}} (210 \text{ kJ}) < Q_{\text{đá_thu_đến_0}} (252 \text{ kJ})\), điều này có nghĩa là nước chỉ đủ sức làm ấm một phần nước đá lên 0°C, và nhiệt độ cân bằng cuối cùng không thể là 0°C nếu chỉ xét quá trình nhiệt độ. Tuy nhiên, nếu nước đóng băng, nó sẽ tỏa thêm nhiệt.

Hãy xem xét toàn bộ quá trình năng lượng:

Nhiệt lượng nước tỏa ra để hạ nhiệt độ từ 25°C xuống 0°C là 210 kJ.

Nhiệt lượng nước đá cần thu để tăng nhiệt độ từ -20°C lên 0°C là 252 kJ.

Lượng nhiệt thiếu hụt để toàn bộ nước đá đạt 0°C là: \(Q_{\text{thiếu}} = Q_{\text{đá_thu_đến_0}} – Q_{\text{nước_tỏa_đến_0}} = 252 – 210 = 42\) kJ.

Để cung cấp thêm 42 kJ này, nước ở 0°C sẽ phải đóng băng một phần.

Khối lượng nước đóng băng thêm là \(m_{\text{đóng_băng}}\):

\(Q_{\text{thiếu}} = m_{\text{đóng_băng}} \cdot \lambda\)

\(42 = m_{\text{đóng_băng}} \cdot 340\)

\(m_{\text{đóng_băng}} = \frac{42}{340} \approx 0,1235\) kg

Kết luận về trạng thái cuối cùng:

Nhiệt độ cân bằng của hỗn hợp là \(t = 0\)°C.

Lượng nước còn lại trong hỗn hợp: \(m_{\text{nước_cuối}} = m_1 – m_{\text{đóng_băng}} = 2 – 0,1235 = 1,8765\) kg

Lượng nước đá trong hỗn hợp: \(m_{\text{đá_cuối}} = m_2 + m_{\text{đóng_băng}} = 6 + 0,1235 = 6,1235\) kg

Kiểm tra lại:

Tổng nhiệt lượng tỏa ra: \(Q_{\text{tỏa_tổng}} = m_1 \cdot C_1 \cdot (25 – 0) + m_{\text{đóng_băng}} \cdot \lambda = 210 + 0,1235 \cdot 340 = 210 + 42 = 252\) kJ

Tổng nhiệt lượng thu vào: \(Q_{\text{thu_tổng}} = m_2 \cdot C_2 \cdot (0 – (-20)) = 6 \cdot 2,1 \cdot 20 = 252\) kJ

Vì \(Q_{\text{tỏa_tổng}} = Q_{\text{thu_tổng}}\), nên kết quả này là hợp lý.

Đáp số:

Nhiệt độ cân bằng của hỗn hợp là \(t = 0\)°C.

Khi đó, hỗn hợp gồm \(1,8765\) kg nước và \(6,1235\) kg nước đá.