Xin chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán xác suất rất thú vị và đòi hỏi sự tư duy logic cao. Đây là dạng bài thường gặp trong các kì thi, vì vậy các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài: Người ta dùng 18 cuốn sách gồm 7 cuốn sách toán, 6 cuốn sách lý, 5 cuốn sách hóa để làm phần thưởng cho 9 học sinh, mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách khác môn. Tính xác suất để học sinh A và B nhận giống nhau (các học sinh A, B, C, D, E, F, H, I, K).

Phân tích đề bài và tìm hướng giải:

Bài toán này có hai phần quan trọng:

1. Mỗi học sinh nhận 2 cuốn sách khác môn. Điều này có nghĩa là mỗi học sinh sẽ nhận một trong ba loại cặp sách sau: Toán – Lý (TL), Toán – Hóa (TH), hoặc Lý – Hóa (LH).
2. Tính xác suất để học sinh A và B nhận “giống nhau”. Với vật phẩm là sách vật lý, việc hai học sinh nhận y hệt hai cuốn sách là không thể (vì sách không thể nhân bản). Vì vậy, chúng ta sẽ hiểu “nhận giống nhau” ở đây là nhận cùng loại cặp sách (ví dụ: cả A và B đều nhận cặp Toán – Lý) và các cuốn sách cụ thể trong cặp đó là khác nhau (tức là A nhận Toán_1, Lý_1 và B nhận Toán_2, Lý_2).

Để tính xác suất, chúng ta cần tìm:

• Tổng số cách phân phát sách cho 9 học sinh (không gian mẫu).
• Số cách phân phát sách sao cho học sinh A và B nhận cùng loại cặp sách (số trường hợp thuận lợi).

Bước 1: Xác định số lượng từng loại cặp sách có thể được hình thành.

Gọi số cặp sách loại Toán – Lý là \(x\), số cặp sách loại Toán – Hóa là \(y\), và số cặp sách loại Lý – Hóa là \(z\).

Vì có 9 học sinh và mỗi học sinh nhận 1 cặp sách, nên tổng số cặp sách phải là 9:

\(x + y + z = 9 \quad (1)\)

Tổng số sách Toán là 7 cuốn. Các cuốn sách Toán được dùng trong cặp Toán – Lý và Toán – Hóa:

\(x + y = 7 \quad (2)\)

Tổng số sách Lý là 6 cuốn. Các cuốn sách Lý được dùng trong cặp Toán – Lý và Lý – Hóa:

\(x + z = 6 \quad (3)\)

Tổng số sách Hóa là 5 cuốn. Các cuốn sách Hóa được dùng trong cặp Toán – Hóa và Lý – Hóa:

\(y + z = 5 \quad (4)\)

Giải hệ phương trình này, chúng ta có:

Từ (2) và (3): \((x+y) – (x+z) = 7 – 6 \Rightarrow y – z = 1 \quad (5)\)

Từ (4) và (5): Cộng hai phương trình \((y+z) + (y-z) = 5 + 1 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3\)

Thay \(y=3\) vào (5): \(3 – z = 1 \Rightarrow z = 2\)

Thay \(y=3\) vào (2): \(x + 3 = 7 \Rightarrow x = 4\)

Kiểm tra lại với (1): \(4 + 3 + 2 = 9\) (Đúng!)

Vậy, chúng ta sẽ có: 4 cặp Toán – Lý (TL), 3 cặp Toán – Hóa (TH) và 2 cặp Lý – Hóa (LH).

Bước 2: Tính tổng số cách phân phát sách cho 9 học sinh (Không gian mẫu – \(n(\Omega)\)).

Trước hết, chúng ta cần tạo ra 9 cặp sách cụ thể từ 18 cuốn sách, sau đó phân phát cho 9 học sinh.

2.1. Số cách chọn sách để tạo thành các loại cặp:

• Chọn 4 cuốn Toán cho 4 cặp TL từ 7 cuốn Toán: \(C(7,4)\) cách.
• Chọn 3 cuốn Toán còn lại (7-4=3) cho 3 cặp TH từ 3 cuốn Toán còn lại: \(C(3,3)\) cách.
• Chọn 4 cuốn Lý cho 4 cặp TL từ 6 cuốn Lý: \(C(6,4)\) cách.
• Chọn 2 cuốn Lý còn lại (6-4=2) cho 2 cặp LH từ 2 cuốn Lý còn lại: \(C(2,2)\) cách.
• Chọn 3 cuốn Hóa cho 3 cặp TH từ 5 cuốn Hóa: \(C(5,3)\) cách.
• Chọn 2 cuốn Hóa còn lại (5-3=2) cho 2 cặp LH từ 2 cuốn Hóa còn lại: \(C(2,2)\) cách.

Số cách chọn các tập hợp sách riêng lẻ là:

\(N_{chon\_sach} = C(7,4) \times C(3,3) \times C(6,4) \times C(2,2) \times C(5,3) \times C(2,2)\)

\(N_{chon\_sach} = 35 \times 1 \times 15 \times 1 \times 10 \times 1 = 5250\) cách.

2.2. Số cách ghép các cuốn sách đã chọn thành các cặp cụ thể:

Sau khi đã chọn được các tập hợp sách cho từng loại cặp, chúng ta cần ghép chúng thành các cặp cụ thể:

• Có 4 cuốn Toán và 4 cuốn Lý được chọn cho 4 cặp TL. Số cách ghép chúng thành 4 cặp riêng biệt là \(4!\) cách.
• Có 3 cuốn Toán và 3 cuốn Hóa được chọn cho 3 cặp TH. Số cách ghép chúng thành 3 cặp riêng biệt là \(3!\) cách.
• Có 2 cuốn Lý và 2 cuốn Hóa được chọn cho 2 cặp LH. Số cách ghép chúng thành 2 cặp riêng biệt là \(2!\) cách.

Số cách hình thành 9 cặp sách cụ thể là:

\(N_{tao\_cap} = N_{chon\_sach} \times 4! \times 3! \times 2!\)

\(N_{tao\_cap} = 5250 \times 24 \times 6 \times 2 = 5250 \times 288 = 1.512.000\) cách.

2.3. Số cách phân phát 9 cặp sách cụ thể cho 9 học sinh:

Có 9 cặp sách khác nhau và 9 học sinh khác nhau. Số cách phân phát 9 cặp sách này cho 9 học sinh là \(9!\) cách.

Vậy, tổng số cách phân phát sách cho 9 học sinh là:

\(n(\Omega) = N_{tao\_cap} \times 9! = 1.512.000 \times 362.880 = 548.736.000.000\) cách.

Con số này rất lớn, nhưng đừng lo lắng, nhiều khi nó sẽ được rút gọn ở bước sau!

Bước 3: Tính số cách phân phát sách để học sinh A và B nhận cùng loại cặp sách (Số trường hợp thuận lợi – \(n(E)\)).

Chúng ta có 3 trường hợp thuận lợi, đó là:

1. Học sinh A và B đều nhận cặp Toán – Lý (TL).
2. Học sinh A và B đều nhận cặp Toán – Hóa (TH).
3. Học sinh A và B đều nhận cặp Lý – Hóa (LH).

Đối với mỗi cách tạo ra 9 cặp sách cụ thể (\(N_{tao\_cap}\) cách), chúng ta sẽ tính số cách phân phát các cặp đó cho 9 học sinh sao cho A và B nhận cùng loại.

Trường hợp 1: A và B đều nhận cặp TL.

• Có 4 cặp TL. Số cách chọn và phân phát 2 cặp TL cho A và B là \(P(4,2) = 4 \times 3 = 12\) cách. (A nhận 1 trong 4, B nhận 1 trong 3 còn lại).
• 7 học sinh còn lại nhận 7 cặp sách còn lại (gồm 2 cặp TL, 3 cặp TH, 2 cặp LH) theo \(7!\) cách.

Số cách thuận lợi cho trường hợp này là: \(N_{tao\_cap} \times P(4,2) \times 7! = N_{tao\_cap} \times 12 \times 7!\)

Trường hợp 2: A và B đều nhận cặp TH.

• Có 3 cặp TH. Số cách chọn và phân phát 2 cặp TH cho A và B là \(P(3,2) = 3 \times 2 = 6\) cách.
• 7 học sinh còn lại nhận 7 cặp sách còn lại theo \(7!\) cách.

Số cách thuận lợi cho trường hợp này là: \(N_{tao\_cap} \times P(3,2) \times 7! = N_{tao\_cap} \times 6 \times 7!\)

Trường hợp 3: A và B đều nhận cặp LH.

• Có 2 cặp LH. Số cách chọn và phân phát 2 cặp LH cho A và B là \(P(2,2) = 2 \times 1 = 2\) cách.
• 7 học sinh còn lại nhận 7 cặp sách còn lại theo \(7!\) cách.

Số cách thuận lợi cho trường hợp này là: \(N_{tao\_cap} \times P(2,2) \times 7! = N_{tao\_cap} \times 2 \times 7!\)

Tổng số cách thuận lợi \(n(E)\) là tổng của 3 trường hợp trên:

\(n(E) = N_{tao\_cap} \times (P(4,2) + P(3,2) + P(2,2)) \times 7!\)

\(n(E) = N_{tao\_cap} \times (12 + 6 + 2) \times 7!\)

\(n(E) = N_{tao\_cap} \times 20 \times 7!\)

Bước 4: Tính xác suất.

Xác suất \(P(E)\) là tỉ số giữa số trường hợp thuận lợi và tổng số trường hợp:

\(P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)}\)

\(P(E) = \frac{N_{tao\_cap} \times 20 \times 7!}{N_{tao\_cap} \times 9!}\)

Chúng ta thấy \(N_{tao\_cap}\) được rút gọn, thật tuyệt vời đúng không các em!

\(P(E) = \frac{20 \times 7!}{9!}\)

Nhớ rằng \(9! = 9 \times 8 \times 7!\), vậy:

\(P(E) = \frac{20}{9 \times 8}\)

\(P(E) = \frac{20}{72}\)

Rút gọn phân số này bằng cách chia cả tử và mẫu cho 4:

\(P(E) = \frac{5}{18}\)

Vậy xác suất để học sinh A và B nhận cùng loại cặp sách là \(\frac{5}{18}\).

Lời kết:

Các em thấy không, một bài toán tưởng chừng phức tạp với những con số khổng lồ, nhưng khi chúng ta phân tích kỹ lưỡng và áp dụng đúng công thức, các đại lượng lớn có thể được rút gọn một cách gọn gàng. Điều quan trọng là phải hiểu rõ từng bước và ý nghĩa của các khái niệm như chỉnh hợp, tổ hợp trong từng ngữ cảnh cụ thể của bài toán nhé!

Chúc các em học tốt!