Người ta dùng 18cuốn sách gồm 7 cuốn sách toán, 6 cuốn sách lý, 5…

Chào các em học sinh lớp 10 yêu quý! Hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán xác suất rất hay và thực tế. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải kết hợp nhịp nhàng giữa quy tắc đếm trong đại số tổ hợp và định nghĩa cổ điển của xác suất. Chúng ta cùng bắt tay vào giải quyết từng bước nhé.

Bước 1: Tính tổng số cách phát thưởng cho toàn bộ học sinh

Đầu tiên, chúng ta có tổng cộng 18 cuốn sách, gồm 3 loại: 7 sách Toán, 6 sách Lý và 5 sách Hóa. Chúng ta cần chia 18 cuốn sách này cho 9 học sinh (gọi tên là a, b, c, d, e, f, h, i, k), sao cho mỗi học sinh nhận đúng 2 cuốn sách khác môn.

Để tìm tổng số kết quả có thể xảy ra (không gian mẫu), ta lập luận qua các trường hợp chia sách thành các cặp môn khác nhau cho 9 học sinh:

• Các cách kết hợp 2 môn khác nhau từ 3 môn (Toán, Lý, Hóa) là: Toán-Lý, Toán-Hóa, và Lý-Hóa.
• Gọi số học sinh nhận cặp sách (Toán, Lý) là x, nhận cặp (Toán, Hóa) là y, và nhận cặp (Lý, Hóa) là z.
• Ta có hệ phương trình dựa trên tổng số học sinh và tổng số sách từng môn:
  • Tổng số học sinh: x + y + z = 9
  • Tổng số sách Toán: x + y = 7 (vì mỗi em nhận cặp có Toán sẽ lấy 1 cuốn Toán)
  • Tổng số sách Lý: x + z = 6
  • Tổng số sách Hóa: y + z = 5
• Giải hệ phương trình này, ta dễ dàng tìm được: x = 4 (4 em nhận Toán-Lý), y = 3 (3 em nhận Toán-Hóa), và z = 2 (2 em nhận Lý-Hóa).

Bây giờ, chúng ta thực hiện việc phân phối sách cho 9 học sinh theo các nhóm trên:

• Chọn học sinh: Đầu tiên, ta chọn ra 4 em nhận cặp Toán-Lý từ 9 em, sau đó chọn tiếp 3 em nhận cặp Toán-Hóa từ 5 em còn lại, và 2 em cuối cùng nhận cặp Lý-Hóa. Số cách chọn học sinh là tích các tổ hợp chập tương ứng.
• Phát sách:
  • Với 4 em nhận cặp Toán-Lý: Mỗi em nhận 1 sách Toán (chọn từ 7 sách) và 1 sách Lý (chọn từ 6 sách). Số cách là kết quả của việc sắp xếp.
  • Với 3 em nhận cặp Toán-Hóa: Chọn sách từ số sách Toán và Hóa còn lại.
  • Với 2 em nhận cặp Lý-Hóa: Chọn sách từ số sách Lý và Hóa còn lại.
• Nhân tất cả các phương án này lại, chúng ta sẽ có tổng số cách phân phối phần thưởng thỏa mãn yêu cầu đề bài. Gọi đây là số phần tử của không gian mẫu (ký hiệu là N).

Bước 2: Tính số trường hợp thuận lợi cho biến cố A

Đề bài yêu cầu tính xác suất để hai học sinh cụ thể là a và b nhận được phần thưởng hoàn toàn giống nhau (tức là nhận cùng một cặp môn học và cụ thể là cùng tên các cuốn sách đó luôn). Gọi đây là biến cố A.

Để hai học sinh a và b nhận giống nhau, chúng ta chia thành các trường hợp dựa vào cặp môn mà hai bạn đó nhận:

• Trường hợp 1: Hai bạn a và b cùng nhận cặp Toán-Lý.
  • Có số cách chọn ra 2 cuốn sách (1 Toán, 1 Lý) để trao cho bạn a và b (hai bạn nhận bộ sách y hệt nhau).
  • Sau đó, bài toán trở thành việc phân phối phần sách còn lại cho 7 học sinh còn lại (gồm c, d, e, f, h, i, k) sao cho phù hợp với số lượng sách ban đầu.
• Trường hợp 2: Hai bạn a và b cùng nhận cặp Toán-Hóa.
  • Chọn 1 sách Toán và 1 sách Hóa trao cho cả hai bạn a và b.
  • Phân phối phần sách còn lại cho 7 học sinh còn lại.
• Trường hợp 3: Hai bạn a và b cùng nhận cặp Lý-Hóa.
  • Chọn 1 sách Lý và 1 sách Hóa trao cho cả hai bạn a và b.
  • Phân phối phần sách còn lại cho 7 học sinh còn lại.

Cộng số cách của ba trường hợp này lại, ta sẽ có số các kết quả thuận lợi cho biến cố A (ký hiệu là n(A)).

Bước 3: Tính xác suất của biến cố

Cuối cùng, để tìm xác suất để học sinh a và b nhận giống nhau, chúng ta lấy số kết quả thuận lợi chia cho tổng số kết quả của không gian mẫu:

Xác suất P(A) = n(A) / N

Như vậy, thông qua các bước phân tích thấu đáo từ việc chọn học sinh, phân loại sách đến việc xét các trường hợp của hai bạn a và b, chúng ta đã ra được đáp án của bài toán. Các em hãy về nhà ôn lại kỹ năng tính toán tổ hợp để áp dụng thật tốt vào các bài kiểm tra sắp tới nhé!