nhà bác An có 25 phòng trọ cho thuê, giá thuê của tất cả các phòng trọ đều như n…
Chúng ta cùng phân tích đề bài nhé:
Tóm tắt đề bài:
* Số phòng trọ ban đầu: 25 phòng.
* Giá thuê ban đầu (nếu thuê hết tất cả): 3.000.000 đồng/phòng/tháng.
* Mỗi lần tăng giá thuê thêm 200.000 đồng, thì có 1 phòng bị trống.
* Ngoài tiền thuê phòng, mỗi phòng còn thu thêm 200.000 đồng/tháng cho các dịch vụ khác (điện, nước, vệ sinh).
* Mục tiêu: Tìm giá thuê phòng (mỗi phòng) để tổng doanh thu hàng tháng là lớn nhất.
Phân tích bài toán:
Chúng ta cần xác định mối quan hệ giữa giá thuê phòng và số lượng phòng cho thuê. Khi giá thuê tăng, số lượng phòng cho thuê sẽ giảm. Chúng ta cũng cần tính toán tổng doanh thu, bao gồm cả tiền thuê phòng và các khoản phí dịch vụ khác.
Đặt biến:
Gọi \(x\) là số lần bác An tăng giá thuê phòng, với \(x\) là số nguyên không âm (\(x \ge 0\)).
Xây dựng các đại lượng theo biến \(x\):
1. Giá thuê mỗi phòng mới:
Nếu giá thuê ban đầu là 3.000.000 đồng và mỗi lần tăng 200.000 đồng, thì giá thuê mới sau \(x\) lần tăng sẽ là:
\(P_{thuê} = 3.000.000 + 200.000 \times x\) (đồng)
2. Số phòng còn cho thuê:
Ban đầu có 25 phòng. Mỗi lần tăng giá, có 1 phòng trống. Vậy sau \(x\) lần tăng giá, số phòng còn cho thuê là:
\(N_{phòng} = 25 – x\) (phòng)
Lưu ý: Điều kiện để bài toán có nghĩa là số phòng cho thuê phải không âm, tức là \(25 – x \ge 0\), suy ra \(x \le 25\).
3. Tổng số tiền thu được từ mỗi phòng (bao gồm cả dịch vụ):
Mỗi phòng cho thuê sẽ thu về tiền thuê phòng và tiền dịch vụ.
\(P_{total\_per\_room} = P_{thuê} + 200.000\)
\(P_{total\_per\_room} = (3.000.000 + 200.000x) + 200.000\)
\(P_{total\_per\_room} = 3.200.000 + 200.000x\) (đồng)
4. Tổng doanh thu hàng tháng:
Tổng doanh thu sẽ bằng số phòng còn cho thuê nhân với tổng số tiền thu được từ mỗi phòng.
\(D = N_{phòng} \times P_{total\_per\_room}\)
\(D(x) = (25 – x) \times (3.200.000 + 200.000x)\)
Tìm giá trị lớn nhất của hàm doanh thu \(D(x)\):
Chúng ta có hàm doanh thu là một hàm bậc hai. Để tìm giá trị lớn nhất, chúng ta có thể khai triển hàm này ra.
\(D(x) = 25 \times 3.200.000 + 25 \times 200.000x – x \times 3.200.000 – x \times 200.000x\)
\(D(x) = 80.000.000 + 5.000.000x – 3.200.000x – 200.000x^2\)
\(D(x) = -200.000x^2 + 1.800.000x + 80.000.000\)
Đây là một hàm bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c\), với \(a = -200.000 < 0\). Do hệ số \(a\) âm, đồ thị của hàm số này là một parabol quay bề lõm xuống dưới, nên hàm số sẽ có giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol. Tọa độ \(x\) của đỉnh parabol được tính bằng công thức: \(x_{đỉnh} = -\frac{b}{2a}\) Trong trường hợp này: \(a = -200.000\) \(b = 1.800.000\) \(x_{đỉnh} = -\frac{1.800.000}{2 \times (-200.000)}\) \(x_{đỉnh} = -\frac{1.800.000}{-400.000}\) \(x_{đỉnh} = \frac{1.800.000}{400.000}\) \(x_{đỉnh} = 4.5\) Giá trị \(x = 4.5\) cho ta thấy rằng điểm cực đại của hàm số nằm giữa hai số nguyên. Vì \(x\) đại diện cho số lần tăng giá, nên \(x\) phải là số nguyên. Trong trường hợp này, giá trị lớn nhất sẽ đạt được tại các giá trị nguyên gần \(4.5\), tức là \(x = 4\) hoặc \(x = 5\). Chúng ta sẽ tính toán doanh thu tại \(x = 4\) và \(x = 5\) để xác định giá trị nào cho doanh thu cao hơn. Trường hợp 1: \(x = 4\) (tăng giá 4 lần)
* Số phòng còn cho thuê: \(N_{phòng} = 25 – 4 = 21\) phòng.
* Giá thuê mỗi phòng: \(P_{thuê} = 3.000.000 + 200.000 \times 4 = 3.000.000 + 800.000 = 3.800.000\) đồng.
* Tổng tiền thu được từ mỗi phòng: \(P_{total\_per\_room} = 3.800.000 + 200.000 = 4.000.000\) đồng.
* Tổng doanh thu: \(D(4) = 21 \times 4.000.000 = 84.000.000\) đồng.
Trường hợp 2: \(x = 5\) (tăng giá 5 lần)
* Số phòng còn cho thuê: \(N_{phòng} = 25 – 5 = 20\) phòng.
* Giá thuê mỗi phòng: \(P_{thuê} = 3.000.000 + 200.000 \times 5 = 3.000.000 + 1.000.000 = 4.000.000\) đồng.
* Tổng tiền thu được từ mỗi phòng: \(P_{total\_per\_room} = 4.000.000 + 200.000 = 4.200.000\) đồng.
* Tổng doanh thu: \(D(5) = 20 \times 4.200.000 = 84.000.000\) đồng.
Như vậy, cả hai trường hợp \(x = 4\) và \(x = 5\) đều cho doanh thu là 84.000.000 đồng.
Chúng ta cần xem xét kỹ lại đề bài để đảm bảo không bỏ sót thông tin nào. Đề bài hỏi “Hỏi bác An cần cho thuê mỗi phòng với giá bao nhiêu tiền một tháng để số tiền thu được từ việc cho thuê phòng là lớn nhất?”.
Trong trường hợp này, hai mức giá khác nhau đều mang lại doanh thu tối đa. Tuy nhiên, thông thường khi muốn tối ưu hóa lợi nhuận, chúng ta thường chọn phương án có giá cao hơn nếu doanh thu như nhau.
* Với \(x = 4\), giá thuê mỗi phòng là 3.800.000 đồng.
* Với \(x = 5\), giá thuê mỗi phòng là 4.000.000 đồng.
Nếu cả hai phương án đều mang lại doanh thu tối đa, chúng ta có thể chọn phương án giá cao hơn để thu được nhiều tiền hơn trên mỗi phòng cho thuê, dù số lượng phòng cho thuê ít hơn.
Tuy nhiên, để chắc chắn hơn, chúng ta có thể kiểm tra các giá trị nguyên gần kề \(x_{đỉnh} = 4.5\).
* Giá trị nguyên nhỏ hơn 4.5 là 4.
* Giá trị nguyên lớn hơn 4.5 là 5.
Do hàm số là parabol với đỉnh tại \(x = 4.5\), giá trị của hàm số sẽ đối xứng qua \(x = 4.5\). Do đó, \(D(4) = D(5)\).
Kết luận:
Bác An cần cho thuê mỗi phòng với giá là 4.000.000 đồng một tháng để số tiền thu được từ việc cho thuê phòng là lớn nhất.
Kiểm tra lại các bước làm:
Chúng ta đã xác định đúng biến, xây dựng đúng các đại lượng theo biến. Hàm doanh thu là một hàm bậc hai và chúng ta đã tìm đúng đỉnh của parabol. Vì đỉnh nằm ở giữa hai số nguyên, chúng ta đã so sánh doanh thu tại hai số nguyên gần nhất và đưa ra kết luận hợp lý.
Các em có thắc mắc gì về bài toán này không? Chúng ta có thể thảo luận thêm.
Gọi \(x\) (\(x \in \mathbb{N}, x \le 25\)) là số lần tăng giá phòng (mỗi lần tăng 200 nghìn đồng = 0,2 triệu đồng).
Giá thuê 1 phòng một tháng: \(3 + 0,2x\) (triệu đồng).Số phòng có khách thuê: \(25 – x\) (phòng).
Tiền điện, nước, vệ sinh thu từ 1 phòng: 0,2 triệu đồng.
Tổng số tiền thu được từ 1 phòng có khách thuê:
\((3 + 0,2x) + 0,2 = 3,2 + 0,2x\) (triệu đồng).
Tổng số tiền bác An thu được trong 1 tháng là:
\(T(x) = (25 – x)(3,2 + 0,2x)\)
\(T(x) = 80 + 5x – 3,2x – 0,2x^2\)
\(T(x) = -0,2x^2 + 1,8x + 80\)
Biến đổi tìm giá trị lớn nhất:
\(T(x) = -0,2(x^2 – 9x) + 80\)
\(T(x) = -0,2(x – 4,5)^2 + 0,2 \cdot 4,5^2 + 80\)
\(T(x) = -0,2(x – 4,5)^2 + 84,05 \le 84,05\)
Vì \(x\) là số nguyên, ta so sánh giá trị \(T(x)\) tại \(x = 4\) và \(x = 5\):
Với \(x = 4\):
\(T(4) = -0,2(4 – 4,5)^2 + 84,05 = 84\) (triệu đồng).
Với \(x = 5\):
\(T(5) = -0,2(5 – 4,5)^2 + 84,05 = 84\) (triệu đồng).
Do đó, số tiền thu được lớn nhất là 84 triệu đồng khi tăng giá \(x = 4\) hoặc \(x = 5\) lần.
Giá thuê phòng một tháng tương ứng:
Nếu \(x = 4\):
\(3 + 0,2 xx 4 = 3,8\) triệu đồng = 3.800.000 đồng.
Nếu \(x = 5\):
\(3 + 0,2 \times 5 = 4,0\) triệu đồng = 4.000.000 đồng.
Gọi \(x\) là số lần bác An tăng giá thuê phòng \((x \in NN, 0 <= x <= 25)\)
Mỗi lần tăng \(200\) nghìn đồng \(= 0,2\) triệu đồng
Khi đó:
Giá thuê mỗi phòng là:
\(3 + 0,2x\) \((\)triệu đồng\()\)
Số phòng được thuê là:
\(25 – x\) \((\)phòng\()\)
Ngoài tiền thuê phòng, mỗi phòng còn thu được \(0,2\) triệu đồng tiền điện, nước và vệ sinh
Do đó, số tiền thu được từ mỗi phòng là:
\(3 + 0,2x + 0,2 = 3,2 + 0,2x\) \((\)triệu đồng\()\)
Tổng số tiền bác An thu được mỗi tháng là:
\(A=(25 – x)(3,2 + 0,2x)\)
\(A = 80 + 5x – 3,2x – 0,2x^(2)\)
\(A = -0,2x^(2) + 1,8x + 80\)
\(A = -0,2(x^(2) – 9x) + 80\)
\(A = -0,2((x – 4,5)^(2) – 20,25) + 80\)
\(A = -0,2(x – 4,5)^(2) + 84,05\)
Vì \((x – 4,5)^(2) >= 0\) nên: \(A <= 84,05\)
Dấu “=” xảy ra khi:
\((x – 4,5)^(2) = 0\)
\(x = 4,5\)
Vì \(x\inNN\) nên \(x\) không thể bằng \(4,5\)
Với \(x\) là số nguyên, \((x – 4,5)^(2)\) nhỏ nhất tại \(x = 4\) hoặc \(x = 5\)
Với \(x = 4:\)
Giá thuê mỗi phòng là:
\(3 + 0,2xx4 = 3,8\) \((\)triệu đồng\()\)
Số phòng được thuê là:
\(25 – 4 = 21\) \((\)phòng\()\)
Tổng doanh thu là:
\(21xx(3,8 + 0,2) = 21xx4 = 84\) \((\)triệu đồng\()\)
Với \(x = 5:\)
Giá thuê mỗi phòng là:
\(3 + 0,2xx5 = 4\) \((\)triệu đồng\()\)
Số phòng được thuê là:
\(25 – 5 = 20\) \((\)phòng\()\)
Tổng doanh thu là:
\(20xx(4 + 0,2) = 20xx4,2 = 84\) \((\)triệu đồng\()\)
\(=>\) Doanh thu lớn nhất là \(84\) triệu đồng/tháng
Vậy bác An có thể cho thuê mỗi phòng với giá \(3,8\) triệu đồng hoặc \(4\) triệu đồng/tháng
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment