nhà bác An có 25 phòng trọ cho thuê, giá thuê của tất cả các phòng…
Chào các em học sinh lớp 9 yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em giải quyết một bài toán thực tế rất hay, ứng dụng kiến thức hàm số bậc hai mà chúng ta đang học để giúp bác An tối ưu hóa doanh thu kinh doanh phòng trọ nhé.
Để giải bài toán này một cách dễ hiểu, chúng ta sẽ thực hiện từng bước lập luận như sau:
Bước 1: Đặt ẩn cho bài toán
- Gọi số lần tăng giá phòng trọ của bác An là x (lần).
- Điều kiện của x: x phải là số nguyên lớn hơn hoặc bằng 0 và nhỏ hơn hoặc bằng 25 (vì nhà bác chỉ có tổng cộng 25 phòng).
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng theo ẩn x
- Mỗi lần tăng giá 200 nghìn đồng (tức là 0,2 triệu đồng), vậy sau x lần tăng, số tiền tăng lên là: 0,2x (triệu đồng).
- Giá tiền thuê của mỗi phòng sau khi tăng là: 3 + 0,2x (triệu đồng).
- Cứ mỗi lần tăng giá thì có thêm 1 phòng bị trống, vậy sau x lần tăng, số phòng bị trống là x phòng.
- Số phòng trọ thực tế được cho thuê là: 25 – x (phòng).
Bước 3: Lập hàm số tính tổng số tiền bác An thu được hằng tháng
Tổng số tiền bác An thu được hằng tháng (gọi là doanh thu y, tính bằng triệu đồng) sẽ bao gồm tổng tiền thuê phòng và tổng tiền dịch vụ (điện, nước, vệ sinh) của các phòng đang có khách thuê:
- Tiền thuê của một phòng là: 3 + 0,2x (triệu đồng).
- Tiền dịch vụ của một phòng là 200 nghìn đồng (tức là 0,2 triệu đồng).
- Tổng chi phí một phòng thu về (gồm cả tiền phòng và dịch vụ) là: (3 + 0,2x) + 0,2 = 3,2 + 0,2x (triệu đồng).
- Doanh thu tổng cộng y được tính bằng số phòng cho thuê nhân với tổng chi phí mỗi phòng: y = (25 – x) nhân với (3,2 + 0,2x).
Bước 4: Biến đổi hàm số về dạng chuẩn
Ta khai triển biểu thức doanh thu y như sau:
- y = 25 nhân 3,2 + 25 nhân 0,2x – x nhân 3,2 – x nhân 0,2x
- y = 80 + 5x – 3,2x – 0,2x bình phương
- y = -0,2x bình phương + 1,8x + 80
Đây là một hàm số bậc hai có dạng y = ax bình phương + bx + c với a = -0,2 (nhỏ hơn 0), b = 1,8 và c = 80.
Bước 5: Tìm giá trị lớn nhất của doanh thu
- Vì hệ số a = -0,2 âm nên đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới. Do đó, giá trị lớn nhất của doanh thu y sẽ đạt được tại đỉnh của parabol.
- Hoành độ đỉnh x được tính theo công thức: x = -b chia cho (2 nhân a).
- Thay số vào ta có: x = -1,8 chia cho (2 nhân -0,2) = -1,8 chia cho -0,4 = 4,5.
- Vì số lần tăng giá x phải là số nguyên (chúng ta chỉ có thể tăng giá nguyên lần để tính số phòng trống là số nguyên), nên ta cần kiểm tra hai giá trị nguyên gần nhất với 4,5 là x = 4 và x = 5.
Bước 6: So sánh doanh thu tại x = 4 và x = 5
- Trường hợp x = 4 (tăng giá 4 lần):
- Số phòng cho thuê là: 25 – 4 = 21 (phòng).
- Giá thuê mỗi phòng là: 3 + 0,2 nhân 4 = 3,8 (triệu đồng).
- Tổng doanh thu là: 21 nhân (3,8 + 0,2) = 21 nhân 4 = 84 (triệu đồng).
- Trường hợp x = 5 (tăng giá 5 lần):
- Số phòng cho thuê là: 25 – 5 = 20 (phòng).
- Giá thuê mỗi phòng là: 3 + 0,2 nhân 5 = 4 (triệu đồng).
- Tổng doanh thu là: 20 nhân (4 + 0,2) = 20 nhân 4,2 = 84 (triệu đồng).
Kết luận:
Như vậy, cả hai trường hợp tăng giá 4 lần hoặc 5 lần đều mang lại mức doanh thu lớn nhất là 84 triệu đồng mỗi tháng. Tuy nhiên, trong thực tế kinh doanh, để vừa đạt doanh thu cao nhất vừa giữ được nhiều khách thuê hơn (giúp giảm thiểu rủi ro phòng trống và hao mòn cơ sở vật chất), bác An nên chọn phương án tăng giá 4 lần.
Vậy bác An cần cho thuê mỗi phòng trọ với giá là: 3,8 triệu đồng một tháng (tăng từ 3 triệu lên thành 3 triệu 800 nghìn đồng) để số tiền thu được là lớn nhất.
Thế nào, bài toán thực tế này không quá khó đúng không các em? Hãy ôn tập kỹ dạng toán tối ưu hóa này để chuẩn bị thật tốt cho các bài kiểm tra sắp tới nhé!
Gọi \(x\) (\(x \in \mathbb{N}, x \le 25\)) là số lần tăng giá phòng (mỗi lần tăng 200 nghìn đồng = 0,2 triệu đồng).
Giá thuê 1 phòng một tháng: \(3 + 0,2x\) (triệu đồng).Số phòng có khách thuê: \(25 – x\) (phòng).
Tiền điện, nước, vệ sinh thu từ 1 phòng: 0,2 triệu đồng.
Tổng số tiền thu được từ 1 phòng có khách thuê:
\((3 + 0,2x) + 0,2 = 3,2 + 0,2x\) (triệu đồng).
Tổng số tiền bác An thu được trong 1 tháng là:
\(T(x) = (25 – x)(3,2 + 0,2x)\)
\(T(x) = 80 + 5x – 3,2x – 0,2x^2\)
\(T(x) = -0,2x^2 + 1,8x + 80\)
Biến đổi tìm giá trị lớn nhất:
\(T(x) = -0,2(x^2 – 9x) + 80\)
\(T(x) = -0,2(x – 4,5)^2 + 0,2 \cdot 4,5^2 + 80\)
\(T(x) = -0,2(x – 4,5)^2 + 84,05 \le 84,05\)
Vì \(x\) là số nguyên, ta so sánh giá trị \(T(x)\) tại \(x = 4\) và \(x = 5\):
Với \(x = 4\):
\(T(4) = -0,2(4 – 4,5)^2 + 84,05 = 84\) (triệu đồng).
Với \(x = 5\):
\(T(5) = -0,2(5 – 4,5)^2 + 84,05 = 84\) (triệu đồng).
Do đó, số tiền thu được lớn nhất là 84 triệu đồng khi tăng giá \(x = 4\) hoặc \(x = 5\) lần.
Giá thuê phòng một tháng tương ứng:
Nếu \(x = 4\):
\(3 + 0,2 xx 4 = 3,8\) triệu đồng = 3.800.000 đồng.
Nếu \(x = 5\):
\(3 + 0,2 \times 5 = 4,0\) triệu đồng = 4.000.000 đồng.
Gọi \(x\) là số lần bác An tăng giá thuê phòng \((x \in NN, 0 <= x <= 25)\)
Mỗi lần tăng \(200\) nghìn đồng \(= 0,2\) triệu đồng
Khi đó:
Giá thuê mỗi phòng là:
\(3 + 0,2x\) \((\)triệu đồng\()\)
Số phòng được thuê là:
\(25 – x\) \((\)phòng\()\)
Ngoài tiền thuê phòng, mỗi phòng còn thu được \(0,2\) triệu đồng tiền điện, nước và vệ sinh
Do đó, số tiền thu được từ mỗi phòng là:
\(3 + 0,2x + 0,2 = 3,2 + 0,2x\) \((\)triệu đồng\()\)
Tổng số tiền bác An thu được mỗi tháng là:
\(A=(25 – x)(3,2 + 0,2x)\)
\(A = 80 + 5x – 3,2x – 0,2x^(2)\)
\(A = -0,2x^(2) + 1,8x + 80\)
\(A = -0,2(x^(2) – 9x) + 80\)
\(A = -0,2((x – 4,5)^(2) – 20,25) + 80\)
\(A = -0,2(x – 4,5)^(2) + 84,05\)
Vì \((x – 4,5)^(2) >= 0\) nên: \(A <= 84,05\)
Dấu “=” xảy ra khi:
\((x – 4,5)^(2) = 0\)
\(x = 4,5\)
Vì \(x\inNN\) nên \(x\) không thể bằng \(4,5\)
Với \(x\) là số nguyên, \((x – 4,5)^(2)\) nhỏ nhất tại \(x = 4\) hoặc \(x = 5\)
Với \(x = 4:\)
Giá thuê mỗi phòng là:
\(3 + 0,2xx4 = 3,8\) \((\)triệu đồng\()\)
Số phòng được thuê là:
\(25 – 4 = 21\) \((\)phòng\()\)
Tổng doanh thu là:
\(21xx(3,8 + 0,2) = 21xx4 = 84\) \((\)triệu đồng\()\)
Với \(x = 5:\)
Giá thuê mỗi phòng là:
\(3 + 0,2xx5 = 4\) \((\)triệu đồng\()\)
Số phòng được thuê là:
\(25 – 5 = 20\) \((\)phòng\()\)
Tổng doanh thu là:
\(20xx(4 + 0,2) = 20xx4,2 = 84\) \((\)triệu đồng\()\)
\(=>\) Doanh thu lớn nhất là \(84\) triệu đồng/tháng
Vậy bác An có thể cho thuê mỗi phòng với giá \(3,8\) triệu đồng hoặc \(4\) triệu đồng/tháng
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment