Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thực tế rất hay, áp dụng kiến thức về hệ phương trình và tối ưu hóa chi phí. Bài toán này không chỉ giúp các em ôn lại kiến thức Toán mà còn rèn luyện tư duy logic trong việc giải quyết các vấn đề thực tiễn.

Bài toán của chúng ta như sau:

Nhân dịp 50 năm giải phóng Miền Nam thống nhất đất nước. Trường Sỹ quan Lục Quân I tổ chức cho 750 sinh viên đi vào Miền Nam tham gia lễ diễu binh, diễu hành. Trường đã liên hệ với đơn vị vận tải để thuê hai loại xe: xe 30 chỗ ngồi và xe 40 chỗ ngồi (không kể lái xe). Biết rằng giá thuê xe loại 30 chỗ là 2 800 000 đồng/xe, còn xe loại 40 chỗ là 4 000 000 đồng/xe. Hỏi nhà trường nên thuê mỗi loại bao nhiêu xe để vừa đủ chỗ ngồi cho 750 sinh viên và chi phí thuê xe là thấp nhất?

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này từng bước một nhé!

Bước 1: Đặt biến và xác định các điều kiện.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định số lượng xe mỗi loại cần thuê. Vì vậy, chúng ta sẽ đặt các biến như sau:

• Gọi \(x\) là số lượng xe loại 30 chỗ ngồi mà nhà trường thuê.
• Gọi \(y\) là số lượng xe loại 40 chỗ ngồi mà nhà trường thuê.

Các điều kiện cần phải thỏa mãn:

• Số lượng xe phải là số nguyên dương (hoặc bằng 0, nếu không thuê loại xe đó). Tức là: \(x \in \mathbb{N}\) và \(y \in \mathbb{N}\).

Bước 2: Xây dựng phương trình liên quan đến số lượng chỗ ngồi.

Tổng số sinh viên cần vận chuyển là 750 người. Mỗi xe 30 chỗ chở được 30 sinh viên, và mỗi xe 40 chỗ chở được 40 sinh viên. Vậy, chúng ta có phương trình về tổng số chỗ ngồi như sau:

\(30x + 40y = 750\)

Chúng ta có thể đơn giản hóa phương trình này bằng cách chia cả hai vế cho 10:

\(3x + 4y = 75\) (Phương trình 1)

Bước 3: Xây dựng hàm mục tiêu (chi phí thuê xe).

Nhà trường muốn chi phí thuê xe là thấp nhất. Chúng ta cần xây dựng một biểu thức tính tổng chi phí thuê xe.

• Giá thuê xe loại 30 chỗ là 2 800 000 đồng/xe.
• Giá thuê xe loại 40 chỗ là 4 000 000 đồng/xe.

Gọi \(C\) là tổng chi phí thuê xe. Vậy, chúng ta có hàm mục tiêu:

\(C = 2\,800\,000x + 4\,000\,000y\)

Mục tiêu của chúng ta là tìm giá trị của \(x\) và \(y\) sao cho \(C\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Bước 4: Tìm các cặp số nguyên dương \((x, y)\) thỏa mãn phương trình 1.

Từ phương trình \(3x + 4y = 75\), chúng ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\) (hoặc ngược lại):

\(4y = 75 – 3x\)

\(y = \frac{75 – 3x}{4}\)

Vì \(y\) phải là số nguyên không âm, nên:

• \(75 – 3x \ge 0 \implies 3x \le 75 \implies x \le 25\).
• \(75 – 3x\) phải chia hết cho 4.

Ta sẽ xét các giá trị của \(x\) từ 0 đến 25. Để \(75 – 3x\) chia hết cho 4, ta có thể xét đồng dư:

\(75 – 3x \equiv 0 \pmod 4\)

\(3 – 3x \equiv 0 \pmod 4\) (vì \(75 = 4 \times 18 + 3 \implies 75 \equiv 3 \pmod 4\))

\(3(1 – x) \equiv 0 \pmod 4\)

Vì 3 và 4 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên \(1 – x\) phải chia hết cho 4.

\(1 – x = 4k\) (với \(k\) là số nguyên)

\(x = 1 – 4k\)

Vì \(0 \le x \le 25\), ta sẽ tìm các giá trị của \(k\) tương ứng:

• Nếu \(k=0 \implies x = 1\).
  
  Khi đó \(y = \frac{75 – 3(1)}{4} = \frac{72}{4} = 18\). Cặp \((x, y) = (1, 18)\).
• Nếu \(k=-1 \implies x = 5\).
  
  Khi đó \(y = \frac{75 – 3(5)}{4} = \frac{60}{4} = 15\). Cặp \((x, y) = (5, 15)\).
• Nếu \(k=-2 \implies x = 9\).
  
  Khi đó \(y = \frac{75 – 3(9)}{4} = \frac{48}{4} = 12\). Cặp \((x, y) = (9, 12)\).
• Nếu \(k=-3 \implies x = 13\).
  
  Khi đó \(y = \frac{75 – 3(13)}{4} = \frac{36}{4} = 9\). Cặp \((x, y) = (13, 9)\).
• Nếu \(k=-4 \implies x = 17\).
  
  Khi đó \(y = \frac{75 – 3(17)}{4} = \frac{24}{4} = 6\). Cặp \((x, y) = (17, 6)\).
• Nếu \(k=-5 \implies x = 21\).
  
  Khi đó \(y = \frac{75 – 3(21)}{4} = \frac{12}{4} = 3\). Cặp \((x, y) = (21, 3)\).
• Nếu \(k=-6 \implies x = 25\).
  
  Khi đó \(y = \frac{75 – 3(25)}{4} = \frac{0}{4} = 0\). Cặp \((x, y) = (25, 0)\).

Các cặp \((x, y)\) thỏa mãn điều kiện bài toán là: \((1, 18), (5, 15), (9, 12), (13, 9), (17, 6), (21, 3), (25, 0)\).

Bước 5: Tính toán chi phí cho mỗi cặp \((x, y)\) và tìm chi phí thấp nhất.

Chúng ta sẽ thay từng cặp \((x, y)\) vào hàm chi phí \(C = 2\,800\,000x + 4\,000\,000y\).

• Với \((x, y) = (1, 18)\):
  
  \(C = 2\,800\,000 \times 1 + 4\,000\,000 \times 18 = 2\,800\,000 + 72\,000\,000 = 74\,800\,000\) đồng.
• Với \((x, y) = (5, 15)\):
  
  \(C = 2\,800\,000 \times 5 + 4\,000\,000 \times 15 = 14\,000\,000 + 60\,000\,000 = 74\,000\,000\) đồng.
• Với \((x, y) = (9, 12)\):
  
  \(C = 2\,800\,000 \times 9 + 4\,000\,000 \times 12 = 25\,200\,000 + 48\,000\,000 = 73\,200\,000\) đồng.
• Với \((x, y) = (13, 9)\):
  
  \(C = 2\,800\,000 \times 13 + 4\,000\,000 \times 9 = 36\,400\,000 + 36\,000\,000 = 72\,400\,000\) đồng.
• Với \((x, y) = (17, 6)\):
  
  \(C = 2\,800\,000 \times 17 + 4\,000\,000 \times 6 = 47\,600\,000 + 24\,000\,000 = 71\,600\,000\) đồng.
• Với \((x, y) = (21, 3)\):
  
  \(C = 2\,800\,000 \times 21 + 4\,000\,000 \times 3 = 58\,800\,000 + 12\,000\,000 = 70\,800\,000\) đồng.
• Với \((x, y) = (25, 0)\):
  
  \(C = 2\,800\,000 \times 25 + 4\,000\,000 \times 0 = 70\,000\,000 + 0 = 70\,000\,000\) đồng.

So sánh các giá trị chi phí, chúng ta thấy giá trị thấp nhất là \(70\,000\,000\) đồng.

Bước 6: Kết luận.

Chi phí thấp nhất là \(70\,000\,000\) đồng, đạt được khi \(x = 25\) và \(y = 0\).

Vậy, nhà trường nên thuê 25 xe loại 30 chỗ ngồi và không thuê xe loại 40 chỗ ngồi để vừa đủ chỗ cho 750 sinh viên với chi phí thấp nhất là 70 000 000 đồng.

Các em thấy không, một bài toán thực tế phức tạp có thể được giải quyết một cách rõ ràng và logic bằng cách áp dụng các kiến thức Toán học mà chúng ta đã học. Hãy luôn cố gắng phân tích kỹ đề bài và trình bày các bước giải một cách khoa học nhé!

Chúc các em học tốt!