Chào các em học sinh lớp 9 thân mến! Cô là giáo viên Toán của các em đây. Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán về căn thức khá thú vị. Các em hãy tập trung nhé!

Bài toán: Cho biểu thức \( P = \left( \frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1} – \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1} \right) \cdot \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} \). Tìm \( x \) để \( P \) nhận giá trị nguyên.

Đầu tiên, chúng ta cần xác định điều kiện để biểu thức P có nghĩa.

Để các biểu thức dưới dấu căn có nghĩa, ta cần \( x \ge 0 \).

Để các mẫu thức khác 0, ta cần:

• \( x+2\sqrt{x}+1 \ne 0 \). Ta thấy \( x+2\sqrt{x}+1 = (\sqrt{x}+1)^2 \). Vì \( \sqrt{x} \ge 0 \) nên \( \sqrt{x}+1 \ge 1 \), do đó \( (\sqrt{x}+1)^2 \ge 1 \). Vậy mẫu thức này luôn khác 0.
• \( \sqrt{x}-1 \ne 0 \), suy ra \( \sqrt{x} \ne 1 \), hay \( x \ne 1 \).
• \( \sqrt{x} \ne 0 \), suy ra \( x \ne 0 \).

Kết hợp lại, điều kiện xác định của \( x \) là \( x > 0 \) và \( x \ne 1 \).

Bước 1: Rút gọn biểu thức P.

Chúng ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức P.

Phần thứ nhất trong ngoặc: \( \frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1} \)

Ta có \( x+2\sqrt{x}+1 = (\sqrt{x}+1)^2 \).

Vậy phần này là: \( \frac{\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}+1)^2} \).

Phần thứ hai trong ngoặc: \( \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện phép trừ trong ngoặc:

\( \frac{\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}+1)^2} – \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1} \)

Để trừ hai phân thức này, ta cần quy đồng mẫu thức. Mẫu thức chung là \( (\sqrt{x}+1)^2 (\sqrt{x}-1) \).

\( = \frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)^2 (\sqrt{x}-1)} – \frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)^2}{(\sqrt{x}+1)^2 (\sqrt{x}-1)} \)

Ta khai triển các biểu thức ở tử số:

Tử số thứ nhất: \( (\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1) = (\sqrt{x})^2 – \sqrt{x} + 2\sqrt{x} – 2 = x + \sqrt{x} – 2 \)

Tử số thứ hai: \( (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)^2 = (\sqrt{x}-2)(x+2\sqrt{x}+1) \)

\( = \sqrt{x}(x+2\sqrt{x}+1) – 2(x+2\sqrt{x}+1) \)

\( = x\sqrt{x} + 2x + \sqrt{x} – 2x – 4\sqrt{x} – 2 \)

\( = x\sqrt{x} – 3\sqrt{x} – 2 \)

Bây giờ, ta thực hiện phép trừ ở tử số:

\( (x + \sqrt{x} – 2) – (x\sqrt{x} – 3\sqrt{x} – 2) \)

\( = x + \sqrt{x} – 2 – x\sqrt{x} + 3\sqrt{x} + 2 \)

\( = x – x\sqrt{x} + 4\sqrt{x} \)

\( = \sqrt{x}(x – x + 4) = \sqrt{x} \cdot 4 = 4\sqrt{x} \)

Vậy, phần trong ngoặc sau khi rút gọn là: \( \frac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)^2 (\sqrt{x}-1)} \)

Bây giờ, ta nhân với phần còn lại của biểu thức P: \( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} \)

\( P = \left( \frac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)^2 (\sqrt{x}-1)} \right) \cdot \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} \)

Chúng ta có thể rút gọn \( \sqrt{x} \) ở tử và mẫu.

Ta cũng có thể rút gọn một thừa số \( (\sqrt{x}+1) \) ở mẫu với \( (\sqrt{x}+1) \) ở tử.

\( P = \frac{4}{(\sqrt{x}+1) (\sqrt{x}-1)} \)

Ta nhận thấy \( (\sqrt{x}+1) (\sqrt{x}-1) = (\sqrt{x})^2 – 1^2 = x – 1 \).

Vậy biểu thức P được rút gọn thành: \( P = \frac{4}{x-1} \)

Bước 2: Tìm x để P nguyên.

Để \( P = \frac{4}{x-1} \) nhận giá trị nguyên, thì \( x-1 \) phải là ước của 4.

Các ước của 4 là: \( \{1, -1, 2, -2, 4, -4\} \).

Ta xét từng trường hợp:

1. \( x-1 = 1 \implies x = 2 \).
2. \( x-1 = -1 \implies x = 0 \).
3. \( x-1 = 2 \implies x = 3 \).
4. \( x-1 = -2 \implies x = -1 \).
5. \( x-1 = 4 \implies x = 5 \).
6. \( x-1 = -4 \implies x = -3 \).

Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định của x.

Ta có điều kiện xác định là \( x > 0 \) và \( x \ne 1 \).

Chúng ta sẽ loại bỏ các giá trị của \( x \) không thỏa mãn điều kiện này:

• \( x = 0 \) không thỏa mãn \( x > 0 \).
• \( x = -1 \) không thỏa mãn \( x > 0 \).
• \( x = -3 \) không thỏa mãn \( x > 0 \).

Các giá trị \( x \) còn lại là \( 2, 3, 5 \). Chúng đều thỏa mãn \( x > 0 \) và \( x \ne 1 \).

Khi đó, các giá trị nguyên của P tương ứng là:

• Với \( x=2 \), \( P = \frac{4}{2-1} = \frac{4}{1} = 4 \).
• Với \( x=3 \), \( P = \frac{4}{3-1} = \frac{4}{2} = 2 \).
• Với \( x=5 \), \( P = \frac{4}{5-1} = \frac{4}{4} = 1 \).

Kết luận:

Vậy, các giá trị của \( x \) để \( P \) nhận giá trị nguyên là \( x = 2, x = 3, x = 5 \).

Các em thấy bài toán này thế nào? Chúng ta đã cùng nhau thực hiện các bước quan trọng là rút gọn biểu thức và tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên. Hãy luyện tập thêm để thành thạo hơn nhé!

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!