P= (căn x+2/ x+2 căn x+1 – căn x -2/ căn x -1) . căn x+1/căn x tìm x…
Chào các em học sinh lớp 9 yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán rất quen thuộc nhưng cũng dễ mất điểm trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10: Tìm x để biểu thức chứa căn nhận giá trị nguyên. Chúng ta cùng từng bước chinh phục bài toán này nhé.
Bước 1: Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức
Trước khi làm bất cứ điều gì với biểu thức chứa căn, việc đầu tiên các em phải làm là tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ). Nhìn vào các mẫu thức và biến số, ta thấy:
- Biểu thức trong căn đòi hỏi: x lớn hơn hoặc bằng 0.
- Các mẫu thức xuất hiện căn x, căn x trừ 1, căn x cộng 1 và biểu thức x cộng 2 căn x cộng 1 (chính là bình phương của tổng căn x cộng 1).
- Do đó, các mẫu số phải khác 0, dẫn đến điều kiện: x lớn hơn hoặc bằng 0 và x khác 1.
Sau khi đã có điều kiện, chúng ta tiến hành quy đồng mẫu thức trong ngoặc, biến đổi và rút gọn biểu thức P. Sau quá trình thu gọn cẩn thận (các em nhớ đổi dấu và nhân chia đa thức chính xác nhé), chúng ta thu được kết quả rút gọn của P là:
P = -2 / (căn x – 1)
Bước 2: Lập luận để tìm x nguyên
Yêu cầu của bài toán là tìm x để P nhận giá trị nguyên. Để việc trình bày được chặt chẽ, chúng ta thường đặt một ẩn phụ hoặc đánh giá trực tiếp. Ở đây, vì đề bài yêu cầu x nguyên, ta sẽ lập luận dựa trên tính chia hết.
Để P là một số nguyên, thì mẫu số (căn x – 1) phải là một ước số của tử số (-2). Các ước của âm 2 bao gồm các số: âm 1, âm 2, 1 và 2.
Bước 3: Giải các trường hợp để tìm x
Bây giờ, chúng ta cho biểu thức ở mẫu bằng lần lượt các ước vừa tìm được:
- Trường hợp 1: căn x trừ 1 bằng 1. Suy ra căn x bằng 2. Bình phương hai vế ta được x bằng 4. (Thỏa mãn ĐKXĐ). Khi đó P bằng âm 2 (là số nguyên, nhận).
- Trường hợp 2: căn x trừ 1 bằng âm 1. Suy ra căn x bằng 0. Bình phương hai vế ta được x bằng 0. (Thỏa mãn ĐKXĐ). Khi đó P bằng 2 (là số nguyên, nhận).
- Trường hợp 3: căn x trừ 1 bằng 2. Suy ra căn x bằng 3. Bình phương hai vế ta được x bằng 9. (Thỏa mãn ĐKXĐ). Khi đó P bằng âm 1 (là số nguyên, nhận).
- Trường hợp 4: căn x trừ 1 bằng âm 2. Suy ra căn x bằng âm 1. Điều này vô lý vì giá trị của căn bậc hai không thể là số âm. Do đó trường hợp này loại.
Bước 4: Kết luận
Sau khi đối chiếu tất cả các giá trị tìm được với điều kiện xác định ban đầu (x lớn hơn hoặc bằng 0 và x khác 1), chúng ta đi đến kết luận cuối cùng.
Vậy các giá trị của x cần tìm để biểu thức P nguyên là: x thuộc tập hợp các số 0, 4, 9.
Chúc các em học tập thật tốt và luôn cẩn thận trong từng bước giải toán nhé!
\(\color{#274e13}{♡}\color{#38761d}{C}\color{#55953a}{h}\color{#79b95d}{a}\color{#98d97c}{n}\color{#b7fa99}{h}\)
\(đk: x > 0, x ne 1\)
\(P = ((sqrtx + 2)/(x + 2 sqrtx + 1) – (sqrtx – 2)/(sqrtx – 1)) . (sqrtx + 1)/sqrtx\)
\(= ((sqrtx + 2)/((sqrtx + 1)^2) – (sqrtx – 2)/(sqrtx – 1)) . (sqrtx + 1)/sqrtx\)
\(= (((sqrtx + 2)(sqrtx – 1) – (sqrtx – 2)(sqrtx + 1)^2)/((sqrtx + 1)^2 . (sqrtx – 1))) . (sqrtx + 1)/sqrtx\)
\(= ((x + sqrtx – 2 – (sqrtx – 2)(x + 2 sqrtx + 1))/((sqrtx + 1)^2 . (sqrtx – 1))) . (sqrtx + 1)/sqrtx\)
\(= ((x + sqrtx – 2 – (x sqrtx + 2x + sqrtx – 2x – 4 sqrtx – 2))/((sqrtx + 1)^2 . (sqrtx – 1))) . (sqrtx + 1)/sqrtx\)
\(= ((-x sqrtx + x + 4 sqrtx)/((sqrtx + 1)^2 . (sqrtx – 1))) . (sqrtx + 1)/sqrtx\)
\(= (sqrtx (-x + sqrtx + 4)/((sqrtx + 1)^2 . (sqrtx – 1))) . (sqrtx + 1)/sqrtx\)
\(= (-x + sqrtx + 4)/((sqrtx + 1)(sqrtx – 1))\)
\(= (-x + sqrtx + 4)/(x – 1)\)
\(= -(x – 1 – sqrtx – 3)/(x – 1)\)
\(= -1 + (sqrtx + 3)/(x – 1)\)
\(= -1 + (sqrtx + 3)/((sqrtx – 1)(sqrtx + 1))\)
Để \(P in ZZ to (sqrtx + 3)/(x – 1) in ZZ\)
Đặt \(a = sqrtx (a > 0, a ne 1)\)
\((a + 3)/(a^2 – 1) in ZZ\)
\((a + 3) vdots (a^2 – 1)\)
\((a + 3)(a – 3) vdots (a^2 – 1)\)
\((a^2 – 9) vdots (a^2 – 1)\)
\((a^2 – 1 – 8) vdots (a^2 – 1)\)
\(8 vdots (a^2 – 1)\)
\(a^2 – 1 in Ư(8) = {-8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8}\)
\(to a^2 in {-7; -3; -1; 0; 2; 3; 5; 9}\)
Vì \(a > 0\) và \(a ne 1\) nên \(a^2 > 0\) và \(a^2 ne 1\)
\(to a^2 in {2; 3; 5; 9}\)
\(to x in {2; 3; 5; 9}\)
Thử lại \(:\)
\(x = 2 to P = -1 + (sqrt2 + 3)/1 = 2 + sqrt2 (loại)\)
\(x = 3 to P = -1 + (sqrt3 + 3)/2 (loại)\)
\(x = 5 to P = -1 + (sqrt5 + 3)/4 (loại)\)
\(x = 9 to P = -1 + (3 + 3)/8 = -1 + 6/8 = -1/4 (loại)\)
Vậy không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn để \(P in ZZ.\)
\(P=[(\sqrtx+2)/(x+2\sqrtx+1)-(\sqrtx-2)/(\sqrtx-1)]*(\sqrtx+1)/(\sqrtx)\)
\(=[(\sqrtx+2)/((\sqrtx+1)^2)-(\sqrtx-2)/(\sqrtx-1)]*(\sqrtx+1)/(\sqrtx)\)
\(=(\sqrtx+2)/(\sqrtx+1)^2*(\sqrtx+1)/\sqrtx-(\sqrtx-2)/(\sqrtx-1)*(\sqrtx+1)/\sqrtx\)
\(=(\sqrtx+2)/(\sqrtx(\sqrtx+1))-((\sqrtx-2)(\sqrtx+1))/(\sqrtx(\sqrtx-1))\)
\(=((\sqrtx+2)(\sqrtx-1)-(\sqrtx-2)(\sqrtx+1)^2)/(\sqrtx(\sqrtx+1)(\sqrtx-1))\)
\(=(\sqrtx(-x+\sqrtx+4))/(\sqrtx(\sqrtx+1)(\sqrtx-1))\)
\(=(-x+\sqrtx+4)/(x-1)\)
\(=-1+(\sqrtx+3)/(x-1)\)
Đặt \(\sqrtx=t(t>=2)\)
\(P=-1+(t+3)/(t^2-1)\)
Để \(P\inZZ\) thì \((t+3)\vdots(t^2-1)=>|t+3|>=|t^2-1|\)
Vì \(t>=2=>t+3>0\) và \(t^2-1>0\) , ta có :
\(t+3>=t^2-1<=>t^2-t-4<=0\)
\(2<=t<=(1+\sqrt17)/2~~2,56\)
Vì \(t\inZZ=>t=2\)
Thử lại với \(t=2\) :
\(P=-1+(2+3)/(2^2-1)=-1+5/3=2/3\)( loại )
Vậy không có giá trị \(x\) nguyên nào để \(P\) nguyên.
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment