Cô rất vui được giúp các em giải quyết các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử này. Đây là một dạng toán rất quan trọng trong chương trình Toán 8, giúp chúng ta làm quen với nhiều kỹ thuật biến đổi đại số. Các em hãy theo dõi thật kỹ nhé!

Chúng ta sẽ cùng nhau đi từng bước một.

a) A = \(5x^3y – 10x^2y^2 + 5xy\)

Đối với đa thức này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung.

Bước 1: Tìm nhân tử chung lớn nhất.

Quan sát các hạng tử: \(5x^3y\), \(-10x^2y^2\), \(5xy\).

• Về phần hệ số: \(5\), \(-10\), \(5\). Ước chung lớn nhất của chúng là \(5\).
• Về phần biến \(x\): \(x^3\), \(x^2\), \(x\). Số mũ nhỏ nhất là \(1\), vậy nhân tử chung là \(x\).
• Về phần biến \(y\): \(y\), \(y^2\), \(y\). Số mũ nhỏ nhất là \(1\), vậy nhân tử chung là \(y\).

Vậy, nhân tử chung lớn nhất của các hạng tử là \(5xy\).

Bước 2: Đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc.

\(A = 5x^3y – 10x^2y^2 + 5xy\)

\(A = 5xy \cdot x^2 – 5xy \cdot 2xy + 5xy \cdot 1\)

\(A = 5xy(x^2 – 2xy + 1)\)

Kết quả:

\(A = 5xy(x^2 – 2xy + 1)\)

b) B = \(x^2 – 2xy + y^2 – 16\)

Đối với đa thức này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức đáng nhớ.

Bước 1: Nhóm ba hạng tử đầu tiên.

Chúng ta nhận thấy \(x^2 – 2xy + y^2\) là một hằng đẳng thức đáng nhớ.

\(x^2 – 2xy + y^2 = (x – y)^2\)

Vậy, đa thức B trở thành:

\(B = (x – y)^2 – 16\)

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Chúng ta có \((x – y)^2\) là bình phương của một biểu thức, và \(16\) là \(4^2\).

Đây là dạng \(a^2 – b^2\), với \(a = x – y\) và \(b = 4\).

Áp dụng công thức \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\):

\(B = (x – y – 4)(x – y + 4)\)

Kết quả:

\(B = (x – y – 4)(x – y + 4)\)

c) C = \(3x^2 – 3xy – 5x + 5y\)

Đối với đa thức này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp nhóm hạng tử.

Bước 1: Nhóm các hạng tử có nhân tử chung.

Chúng ta có thể nhóm \( (3x^2 – 3xy) \) và \( (-5x + 5y) \).

\(C = (3x^2 – 3xy) – (5x – 5y)\) (Lưu ý dấu trừ trước ngoặc khi đổi dấu các hạng tử)

Bước 2: Đặt nhân tử chung trong mỗi nhóm.

• Trong nhóm thứ nhất \( (3x^2 – 3xy) \), nhân tử chung là \(3x\).

\(3x(x – y)\)

• Trong nhóm thứ hai \( (5x – 5y) \), nhân tử chung là \(5\).

\(5(x – y)\)

Vậy, đa thức C trở thành:

\(C = 3x(x – y) – 5(x – y)\)

Bước 3: Đặt nhân tử chung là đa thức \((x – y)\).

Chúng ta thấy \((x – y)\) là nhân tử chung của cả hai biểu thức \(3x(x – y)\) và \(5(x – y)\).

\(C = (x – y)(3x – 5)\)

Kết quả:

\(C = (x – y)(3x – 5)\)

d) D = \(x^2 – 7x + 12\)

Đối với đa thức bậc hai dạng \(ax^2 + bx + c\) với \(a=1\), chúng ta sẽ tìm hai số mà tích của chúng bằng \(c\) và tổng của chúng bằng \(b\).

Trong trường hợp này, \(c = 12\) và \(b = -7\).

Bước 1: Tìm hai số có tích bằng \(12\) và tổng bằng \(-7\).

Các cặp số có tích bằng \(12\):

• \(1 \times 12 = 12\) (Tổng \(1+12 = 13\))
• \(2 \times 6 = 12\) (Tổng \(2+6 = 8\))
• \(3 \times 4 = 12\) (Tổng \(3+4 = 7\))
• \(-1 \times -12 = 12\) (Tổng \(-1-12 = -13\))
• \(-2 \times -6 = 12\) (Tổng \(-2-6 = -8\))
• \(-3 \times -4 = 12\) (Tổng \(-3-4 = -7\)) (Đây là cặp số chúng ta cần tìm!)

Vậy, hai số đó là \(-3\) và \(-4\).

Bước 2: Viết lại hạng tử giữa và nhóm hạng tử.

Chúng ta có thể viết \(-7x\) thành \(-3x – 4x\).

\(D = x^2 – 3x – 4x + 12\)

Nhóm các hạng tử:

\(D = (x^2 – 3x) – (4x – 12)\)

Bước 3: Đặt nhân tử chung trong mỗi nhóm và đặt nhân tử chung là đa thức.

\(D = x(x – 3) – 4(x – 3)\)

\(D = (x – 3)(x – 4)\)

Kết quả:

\(D = (x – 3)(x – 4)\)

e) E = \(x^4 + 4\)

Đây là một dạng đặc biệt, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp “thêm bớt hạng tử” để tạo ra hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Bước 1: Biến đổi để tạo thành bình phương hoàn chỉnh.

Chúng ta có \(x^4 = (x^2)^2\) và \(4 = 2^2\).

Nếu muốn tạo thành \((x^2 + 2)^2\), chúng ta cần có hạng tử giữa là \(2 \cdot x^2 \cdot 2 = 4x^2\).

Vậy, chúng ta sẽ thêm và bớt \(4x^2\) vào đa thức.

\(E = x^4 + 4x^2 + 4 – 4x^2\)

Bước 2: Nhóm các hạng tử để tạo hằng đẳng thức bình phương của một tổng.

\(E = (x^4 + 4x^2 + 4) – 4x^2\)

Nhận thấy \(x^4 + 4x^2 + 4 = (x^2 + 2)^2\).

\(E = (x^2 + 2)^2 – 4x^2\)

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Chúng ta có \((x^2 + 2)^2\) là bình phương của một biểu thức, và \(4x^2 = (2x)^2\).

Đây là dạng \(a^2 – b^2\), với \(a = x^2 + 2\) và \(b = 2x\).

Áp dụng công thức \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\):

\(E = ((x^2 + 2) – 2x)((x^2 + 2) + 2x)\)

\(E = (x^2 + 2 – 2x)(x^2 + 2 + 2x)\)

Bước 4: Sắp xếp lại các hạng tử trong mỗi ngoặc cho gọn gàng.

\(E = (x^2 – 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)\)

Kết quả:

\(E = (x^2 – 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)\)

Cô hy vọng những lời giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Hãy luyện tập thêm để thành thạo nhé! Chúc các em học tốt!