phân tích đa thức thành nhân tử:
1) x^2 – 2x + 1 – y^2
4) x^2 – y^2 + 4x + 4
7) …
1) x^2 – 2x + 1 – y^2
4) x^2 – y^2 + 4x + 4
7) x^2 – y^2 – 6y – 9
10) 4x^2 – y^2 – 6y – 9
Chúng ta sẽ giải quyết từng bài một cách chi tiết nhé.
Phương pháp chính chúng ta sẽ sử dụng là:
- Nhận diện các hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là bình phương của một tổng/hiệu và hiệu hai bình phương.
- Nhóm các hạng tử một cách thích hợp để làm xuất hiện các hằng đẳng thức.
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: \(x^2 – 2x + 1 – y^2\)
Phân tích:
Quan sát đa thức này, các em có thể thấy ba hạng tử đầu tiên là \(x^2 – 2x + 1\) có dạng của một hằng đẳng thức quen thuộc.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Nhận diện hằng đẳng thức.
Ta thấy \(x^2 – 2x + 1\) chính là \((x-1)^2\) (hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)).
Bước 2: Thay thế vào biểu thức ban đầu.
Đa thức ban đầu trở thành: \( (x-1)^2 – y^2 \).
Bước 3: Nhận diện hằng đẳng thức tiếp theo.
Biểu thức \( (x-1)^2 – y^2 \) có dạng hiệu hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\).
Ở đây, \(A = (x-1)\) và \(B = y\).
Bước 4: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
\( (x-1)^2 – y^2 = ((x-1) – y)((x-1) + y) \)
Bước 5: Rút gọn biểu thức.
\( = (x – 1 – y)(x – 1 + y) \)
Kết quả cuối cùng:
\(x^2 – 2x + 1 – y^2 = (x – 1 – y)(x – 1 + y)\)
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: \(x^2 – y^2 + 4x + 4\)
Phân tích:
Trong đa thức này, chúng ta cần tìm cách nhóm các hạng tử để làm xuất hiện các hằng đẳng thức. Hãy nhìn vào các hạng tử chứa \(x\) và số tự do.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Sắp xếp lại các hạng tử và nhóm chúng.
Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và số tự do lại với nhau:
\( x^2 + 4x + 4 – y^2 \)
Bước 2: Nhận diện hằng đẳng thức.
Ba hạng tử đầu tiên \(x^2 + 4x + 4\) chính là \((x+2)^2\) (hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)).
Bước 3: Thay thế vào biểu thức.
Đa thức trở thành: \( (x+2)^2 – y^2 \)
Bước 4: Nhận diện hằng đẳng thức tiếp theo.
Biểu thức này lại có dạng hiệu hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\).
Ở đây, \(A = (x+2)\) và \(B = y\).
Bước 5: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
\( (x+2)^2 – y^2 = ((x+2) – y)((x+2) + y) \)
Bước 6: Rút gọn biểu thức.
\( = (x + 2 – y)(x + 2 + y) \)
Kết quả cuối cùng:
\(x^2 – y^2 + 4x + 4 = (x + 2 – y)(x + 2 + y)\)
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: \(x^2 – y^2 – 6y – 9\)
Phân tích:
Ở bài này, chúng ta thấy \(x^2\) đứng một mình, còn các hạng tử còn lại chứa \(y\) và số tự do. Có thể các hạng tử chứa \(y\) sẽ tạo thành một hằng đẳng thức.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Nhóm các hạng tử chứa \(y\) và số tự do.
Để làm xuất hiện hằng đẳng thức, chúng ta cần đặt dấu trừ ra ngoài đối với ba hạng tử cuối:
\( x^2 – (y^2 + 6y + 9) \)
Lưu ý quan trọng: Khi đặt dấu trừ ra ngoài dấu ngoặc, tất cả các dấu của các hạng tử bên trong ngoặc phải đổi dấu.
Bước 2: Nhận diện hằng đẳng thức.
Phần trong ngoặc \(y^2 + 6y + 9\) chính là \((y+3)^2\) (bình phương của một tổng).
Bước 3: Thay thế vào biểu thức.
Đa thức trở thành: \( x^2 – (y+3)^2 \)
Bước 4: Nhận diện hằng đẳng thức tiếp theo.
Đây lại là dạng hiệu hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\).
Ở đây, \(A = x\) và \(B = (y+3)\).
Bước 5: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
\( x^2 – (y+3)^2 = (x – (y+3))(x + (y+3)) \)
Bước 6: Rút gọn biểu thức.
Nhớ phân phối dấu trừ vào trong ngoặc thứ nhất:
\( = (x – y – 3)(x + y + 3) \)
Kết quả cuối cùng:
\(x^2 – y^2 – 6y – 9 = (x – y – 3)(x + y + 3)\)
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: \(4x^2 – y^2 – 6y – 9\)
Phân tích:
Bài này tương tự như bài 7, nhưng lần này hạng tử đầu tiên là \(4x^2\). Chúng ta nhận thấy \(4x^2 = (2x)^2\), cũng là một bình phương. Các hạng tử còn lại chứa \(y\) và số tự do, gợi ý cho chúng ta cách nhóm tương tự bài 7.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Nhóm các hạng tử chứa \(y\) và số tự do.
Tương tự như bài 7, ta đặt dấu trừ ra ngoài đối với ba hạng tử cuối:
\( 4x^2 – (y^2 + 6y + 9) \)
Bước 2: Nhận diện hằng đẳng thức.
Phần trong ngoặc \(y^2 + 6y + 9\) chính là \((y+3)^2\).
Bước 3: Thay thế vào biểu thức.
Đa thức trở thành: \( 4x^2 – (y+3)^2 \)
Bước 4: Biến đổi hạng tử đầu tiên về dạng bình phương.
Ta có \(4x^2 = (2x)^2\).
Bước 5: Thay thế vào biểu thức.
Đa thức trở thành: \( (2x)^2 – (y+3)^2 \)
Bước 6: Nhận diện hằng đẳng thức tiếp theo.
Đây là dạng hiệu hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\).
Ở đây, \(A = (2x)\) và \(B = (y+3)\).
Bước 7: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
\( (2x)^2 – (y+3)^2 = (2x – (y+3))(2x + (y+3)) \)
Bước 8: Rút gọn biểu thức.
Nhớ phân phối dấu trừ vào trong ngoặc thứ nhất:
\( = (2x – y – 3)(2x + y + 3) \)
Kết quả cuối cùng:
\(4x^2 – y^2 – 6y – 9 = (2x – y – 3)(2x + y + 3)\)
Thầy hy vọng qua các ví dụ trên, các em đã nắm vững hơn cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là sự kết hợp giữa bình phương của một tổng/hiệu và hiệu hai bình phương. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo dạng bài này nhé!
Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!
\(1) x^2 – 2x + 1 – y^2\)
\(= ( x – 1 )^2 – y^2\)
\(= ( x – y – 1 )( x + y – 1 )\)
\(4) x^2 – y^2 + 4x + 4\)
\(= x^2 + 4x + 4 – y^2\)
\(= ( x + 2 )^2 – y^2\)
\(= ( x – y + 2 )( x + y + 2 )\)
\(7) x^2 – y^2 – 6y – 9\)
\(= x^2 – ( y^2 + 6y + 9 )\)
\(= x^2 – ( y + 3 )^2\)
\(= ( x – y – 3 )( x + y + 3 )\)
\(10) 4x^2 – y^2 + 4x + 1\)
\(= 4x^2 + 4x + 1 – y^2\)
\(= ( 2x + 1 )^2 – y^2\)
\(= ( 2x -y + 1 )( 2x + y + 1 )\)
\(1)x^2-2x+1-y^2\)
\(=(x-1)^2-y^2\)
\(=(x-1+y)(x-1-y)\)
\(4)x^2-y^2+4x+4\)
\(=(x^2-4x+4)-y^2\)
\(=(x-2)^2-y^2\)
\(=(x-2-y)(x-2+y)\)
\(7)x^2-y^2-6y-9\)
\(=x^2-(y^2+6y+9)\)
\(=x^2-(y+3)^2\)
\(=(x-y-3)(x+y+3)\)
\(10)4x^2-y^2+4x+1\)
\(=(4x^2+4x+1)-y^2\)
\(=(2x+1)^2-y^2\)
\(=(2x+1-y)(2x+1+y)\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment