Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và thực hành một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, đó là phân tích đa thức thành nhân tử. Các bài toán các em đưa ra đều là phương trình bậc hai, nhưng yêu cầu là phân tích đa thức ở vế trái (là một biểu thức) thành nhân tử. Sau khi phân tích được thành nhân tử, nếu đề bài yêu cầu giải phương trình thì chúng ta sẽ dễ dàng tìm được nghiệm.

Thầy sẽ hướng dẫn các em sử dụng phương pháp “tách hạng tử giữa” hay còn gọi là “phương pháp nhóm” một cách chi tiết nhé!

—

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

\(x^2 – 7x + 12\)

Phân tích:
Đây là đa thức bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c\), với \(a=1\), \(b=-7\), \(c=12\).
Chúng ta cần tìm hai số \(m\) và \(n\) sao cho \(m \times n = a \times c\) và \(m + n = b\).
Ở đây, \(a \times c = 1 \times 12 = 12\).
Và \(b = -7\).
Chúng ta cần tìm hai số mà tích của chúng bằng 12 và tổng của chúng bằng -7.
Các cặp số có tích bằng 12 là: (1, 12), (2, 6), (3, 4), (-1, -12), (-2, -6), (-3, -4).
Kiểm tra tổng của các cặp số này:
1 + 12 = 13
2 + 6 = 8
3 + 4 = 7
-1 + (-12) = -13
-2 + (-6) = -8
-3 + (-4) = -7. (Đây rồi!)
Vậy hai số chúng ta cần tìm là -3 và -4.

Các bước giải:

Bước 1: Tách hạng tử giữa \(-7x\) thành \(-3x – 4x\).
\(x^2 – 7x + 12 = x^2 – 3x – 4x + 12\)

Bước 2: Nhóm các hạng tử thích hợp.
Chúng ta nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử sau:
\( (x^2 – 3x) + (-4x + 12) \)

Bước 3: Đặt nhân tử chung trong mỗi nhóm.
Từ nhóm \( (x^2 – 3x) \), chúng ta đặt \(x\) làm nhân tử chung: \(x(x – 3)\).
Từ nhóm \( (-4x + 12) \), chúng ta đặt \(-4\) làm nhân tử chung: \(-4(x – 3)\).
(Lưu ý: khi đặt -4 ra ngoài, dấu của các hạng tử bên trong sẽ đổi).

Vậy, biểu thức trở thành:
\( x(x – 3) – 4(x – 3) \)

Bước 4: Đặt nhân tử chung một lần nữa.
Bây giờ, chúng ta thấy \((x – 3)\) là nhân tử chung của cả hai cụm.
\( (x – 3)(x – 4) \)

Kết quả:
Vậy, đa thức \(x^2 – 7x + 12\) được phân tích thành nhân tử là: \( \mathbf{(x – 3)(x – 4)} \).

—

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

\(2x^2 + 7x + 3\)

Phân tích:
Đây là đa thức bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c\), với \(a=2\), \(b=7\), \(c=3\).
Chúng ta cần tìm hai số \(m\) và \(n\) sao cho \(m \times n = a \times c\) và \(m + n = b\).
Ở đây, \(a \times c = 2 \times 3 = 6\).
Và \(b = 7\).
Chúng ta cần tìm hai số mà tích của chúng bằng 6 và tổng của chúng bằng 7.
Các cặp số có tích bằng 6 là: (1, 6), (2, 3), (-1, -6), (-2, -3).
Kiểm tra tổng của các cặp số này:
1 + 6 = 7. (Tìm được rồi!)
Vậy hai số chúng ta cần tìm là 1 và 6.

Các bước giải:

Bước 1: Tách hạng tử giữa \(7x\) thành \(1x + 6x\).
\(2x^2 + 7x + 3 = 2x^2 + x + 6x + 3\)

Bước 2: Nhóm các hạng tử thích hợp.
\( (2x^2 + x) + (6x + 3) \)

Bước 3: Đặt nhân tử chung trong mỗi nhóm.
Từ nhóm \( (2x^2 + x) \), chúng ta đặt \(x\) làm nhân tử chung: \(x(2x + 1)\).
Từ nhóm \( (6x + 3) \), chúng ta đặt \(3\) làm nhân tử chung: \(3(2x + 1)\).

Vậy, biểu thức trở thành:
\( x(2x + 1) + 3(2x + 1) \)

Bước 4: Đặt nhân tử chung một lần nữa.
Bây giờ, chúng ta thấy \((2x + 1)\) là nhân tử chung của cả hai cụm.
\( (2x + 1)(x + 3) \)

Kết quả:
Vậy, đa thức \(2x^2 + 7x + 3\) được phân tích thành nhân tử là: \( \mathbf{(2x + 1)(x + 3)} \).

—

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

\(3x^2 – 14x – 5\)

Phân tích:
Đây là đa thức bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c\), với \(a=3\), \(b=-14\), \(c=-5\).
Chúng ta cần tìm hai số \(m\) và \(n\) sao cho \(m \times n = a \times c\) và \(m + n = b\).
Ở đây, \(a \times c = 3 \times (-5) = -15\).
Và \(b = -14\).
Chúng ta cần tìm hai số mà tích của chúng bằng -15 và tổng của chúng bằng -14.
Các cặp số có tích bằng -15 là: (1, -15), (-1, 15), (3, -5), (-3, 5).
Kiểm tra tổng của các cặp số này:
1 + (-15) = -14. (Tìm được rồi!)
Vậy hai số chúng ta cần tìm là 1 và -15.

Các bước giải:

Bước 1: Tách hạng tử giữa \(-14x\) thành \(1x – 15x\).
\(3x^2 – 14x – 5 = 3x^2 + x – 15x – 5\)

Bước 2: Nhóm các hạng tử thích hợp.
\( (3x^2 + x) + (-15x – 5) \)

Bước 3: Đặt nhân tử chung trong mỗi nhóm.
Từ nhóm \( (3x^2 + x) \), chúng ta đặt \(x\) làm nhân tử chung: \(x(3x + 1)\).
Từ nhóm \( (-15x – 5) \), chúng ta đặt \(-5\) làm nhân tử chung: \(-5(3x + 1)\).

Vậy, biểu thức trở thành:
\( x(3x + 1) – 5(3x + 1) \)

Bước 4: Đặt nhân tử chung một lần nữa.
Bây giờ, chúng ta thấy \((3x + 1)\) là nhân tử chung của cả hai cụm.
\( (3x + 1)(x – 5) \)

Kết quả:
Vậy, đa thức \(3x^2 – 14x – 5\) được phân tích thành nhân tử là: \( \mathbf{(3x + 1)(x – 5)} \).

—

Thầy hy vọng qua các ví dụ chi tiết này, các em đã nắm vững hơn phương pháp phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử bằng cách tách hạng tử giữa. Đây là một kỹ năng rất quan trọng, giúp các em giải quyết nhiều bài toán khác trong môn Toán.
Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo nhé!