Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay, thầy rất vui được hướng dẫn các em ôn tập và giải chi tiết các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Đây là một kỹ năng rất quan trọng trong môn Toán, giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn sau này. Chúng ta hãy cùng nhau đi qua từng bài một nhé!

Bài 1: Phân tích đa thức \( x^2 – 9x + 8 \)

Chào các em! Đây là dạng đa thức bậc hai quen thuộc có dạng \(ax^2 + bx + c\). Trong trường hợp này, \(a = 1\), \(b = -9\), và \(c = 8\).
Để phân tích đa thức này, chúng ta sẽ tìm hai số mà tích của chúng bằng \(c\) (là 8) và tổng của chúng bằng \(b\) (là -9).

Chúng ta cùng suy nghĩ nhé:

• Các cặp số có tích bằng 8 là: (1, 8), (-1, -8), (2, 4), (-2, -4).
• Trong các cặp này, cặp nào có tổng bằng -9? Đó chính là -1 và -8. (Vì \((-1) + (-8) = -9\) và \((-1) \times (-8) = 8\)).

Bây giờ chúng ta sẽ tách hạng tử giữa \(-9x\) thành \(-x – 8x\):

\( x^2 – 9x + 8 \)
\( = x^2 – x – 8x + 8 \) (Tách hạng tử \(-9x\))
\( = (x^2 – x) – (8x – 8) \) (Nhóm các hạng tử, chú ý dấu khi đặt dấu trừ ra ngoài)
\( = x(x – 1) – 8(x – 1) \) (Đặt nhân tử chung trong mỗi nhóm)
\( = (x – 1)(x – 8) \) (Đặt nhân tử chung \((x – 1)\))

Vậy, kết quả cuối cùng là: \( (x – 1)(x – 8) \)

Bài 2: Phân tích đa thức \( x^2 – 4 \)

Các em có nhớ hằng đẳng thức “Hiệu hai bình phương” không? Đó là: \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\).
Đa thức \(x^2 – 4\) của chúng ta hoàn toàn khớp với dạng này!

Chúng ta có thể viết \(4\) dưới dạng \(2^2\). Vậy:
\( x^2 – 4 = x^2 – 2^2 \)

Ở đây, \(a = x\) và \(b = 2\). Áp dụng công thức, ta được:

\( x^2 – 2^2 = (x – 2)(x + 2) \)

Vậy, kết quả cuối cùng là: \( (x – 2)(x + 2) \)

Bài 3: Phân tích đa thức \( x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3 \)

Khi nhìn thấy các lũy thừa bậc ba và các hệ số 3, 1 kết hợp với nhau, chúng ta hãy nghĩ ngay đến hằng đẳng thức “Lập phương của một tổng” hoặc “Lập phương của một hiệu”.
Hằng đẳng thức lập phương của một tổng là: \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 \).

So sánh đa thức \( x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3 \) với công thức tổng quát, chúng ta thấy:
– \(a^3\) tương ứng với \(x^3\), vậy \(a = x\).
– \(b^3\) tương ứng với \(y^3\), vậy \(b = y\).
– Kiểm tra các hạng tử giữa: \(3a^2 b = 3x^2 y\) (Đúng!) và \(3ab^2 = 3xy^2\) (Đúng!)

Vậy, đa thức này chính là dạng khai triển của \((x + y)^3\).

\( x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3 = (x + y)^3 \)

Kết quả cuối cùng là: \( (x + y)^3 \)

Bài 4: Phân tích đa thức \( (x+y)^3 + (x+y)^2 \)

Với bài toán này, các em có thể thấy rõ ràng có một “nhân tử chung” xuất hiện ở cả hai hạng tử. Đó chính là biểu thức \((x+y)\), và cụ thể hơn là \((x+y)^2\).

Chúng ta có:
– Hạng tử thứ nhất: \((x+y)^3 = (x+y)^2 \cdot (x+y)\)
– Hạng tử thứ hai: \((x+y)^2\)

Bây giờ, chúng ta sẽ đặt nhân tử chung \((x+y)^2\) ra ngoài:

\( (x+y)^3 + (x+y)^2 \)
\( = (x+y)^2 [ (x+y) + 1 ] \) (Khi đặt \((x+y)^2\) ra khỏi \((x+y)^2\), còn lại số 1 chứ không phải 0 nhé!)

Vậy, kết quả cuối cùng là: \( (x+y)^2 (x+y+1) \)

Bài 5: Phân tích đa thức \( 16x^2 – 9y^2 \)

Lại một bài toán nữa có dạng “Hiệu hai bình phương”! Chúng ta cần biến đổi các hạng tử về dạng \(A^2 – B^2\).

Chúng ta có:
– \(16x^2\) có thể viết thành \((4x)^2\) (vì \(4^2 = 16\))
– \(9y^2\) có thể viết thành \((3y)^2\) (vì \(3^2 = 9\))

Vậy, đa thức trở thành:
\( 16x^2 – 9y^2 = (4x)^2 – (3y)^2 \)

Áp dụng hằng đẳng thức \(A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)\) với \(A = 4x\) và \(B = 3y\), ta được:

\( (4x)^2 – (3y)^2 = (4x – 3y)(4x + 3y) \)

Vậy, kết quả cuối cùng là: \( (4x – 3y)(4x + 3y) \)

Thầy hy vọng qua những giải thích chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các kỹ năng này nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy!

Chúc các em học tốt!