Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử. Đây là một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Đại số lớp 8, đòi hỏi chúng ta phải có khả năng quan sát và áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Đề bài: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

\(x^{3}\) \(+\) \(4y^{2}-2xy+\) \(8y^{3}+\) \(x^{2}\)

Hướng dẫn giải chi tiết:

Đa thức chúng ta cần phân tích là: \(x^{3}\) \(+\) \(4y^{2}-2xy+\) \(8y^{3}+\) \(x^{2}\)

Để phân tích đa thức này, chúng ta cần tìm cách nhóm các hạng tử lại với nhau sao cho xuất hiện nhân tử chung hoặc các hằng đẳng thức đã học.

Bước 1: Sắp xếp lại các hạng tử

Hãy quan sát các hạng tử của đa thức: \(x^{3}\), \(4y^{2}\), \(-2xy\), \(8y^{3}\), \(x^{2}\).

Chúng ta thấy có hạng tử \(x^{3}\) và \(8y^{3}\). Hạng tử \(8y^{3}\) có thể viết thành \((2y)^3\). Đây là dạng tổng của hai lập phương \(a^3 + b^3\). Điều này gợi ý chúng ta nên nhóm chúng lại với nhau.

Chúng ta sẽ sắp xếp lại đa thức như sau, đưa các hạng tử liên quan đến lập phương và các hạng tử còn lại vào các nhóm riêng biệt:

\(x^{3}\) \(+\) \(8y^{3}\) \(+\) \(x^{2}\) \(-2xy+\) \(4y^{2}\)

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ

Xét nhóm hạng tử đầu tiên: \((x^{3}\) \(+\) \(8y^{3})\)

Chúng ta nhận thấy đây chính là tổng của hai lập phương. Nhắc lại hằng đẳng thức:

\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)\)

Áp dụng hằng đẳng thức này với \(a = x\) và \(b = 2y\) (vì \(8y^3 = (2y)^3\)), ta có:

\(x^{3}\) \(+\) \( (2y)^{3}\) \(= (x+2y)(x^{2} – x \cdot 2y + (2y)^{2})\)

\(= (x+2y)(x^{2} – 2xy + 4y^{2})\)

Vậy, đa thức ban đầu của chúng ta sau khi phân tích nhóm đầu tiên sẽ trở thành:

\((x+2y)(x^{2} – 2xy + 4y^{2}) + x^{2} – 2xy + 4y^{2}\)

Bước 3: Đặt nhân tử chung

Bây giờ, hãy quan sát kỹ biểu thức chúng ta vừa thu được:

\((x+2y)(x^{2} – 2xy + 4y^{2}) + (x^{2} – 2xy + 4y^{2})\)

Các em có nhận ra điểm đặc biệt không? Chúng ta thấy rằng \((x^{2} – 2xy + 4y^{2})\) là một nhân tử chung xuất hiện ở cả hai phần của tổng.

Chúng ta có thể viết hạng tử thứ hai dưới dạng tích của nhân tử chung với 1:

\((x+2y)\)\(\cdot\)\((x^{2} – 2xy + 4y^{2}) + 1\)\(\cdot\)\((x^{2} – 2xy + 4y^{2})\)

Bây giờ, chúng ta đặt nhân tử chung \((x^{2} – 2xy + 4y^{2})\) ra ngoài:

\((x^{2} – 2xy + 4y^{2}) [ (x+2y) + 1 ]\)

Cuối cùng, thu gọn biểu thức trong dấu ngoặc vuông:

\((x^{2} – 2xy + 4y^{2}) (x+2y+1)\)

Kết luận:

Vậy, đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử là:

\(x^{3}\) \(+\) \(4y^{2}-2xy+\) \(8y^{3}+\) \(x^{2}\) \(=\) \((x^{2} – 2xy + 4y^{2}) (x+2y+1)\)

Hy vọng bài giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ cách phân tích đa thức này. Hãy luôn nhớ rằng việc quan sát các hạng tử, sắp xếp lại chúng một cách hợp lý và nhận diện các hằng đẳng thức là chìa khóa để giải quyết các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nhé!

Chúc các em học tốt!