Chào các em học sinh lớp 9 thân mến!

Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử. Đây là một dạng toán khá quen thuộc và quan trọng, giúp chúng ta rèn luyện tư duy biến đổi đại số. Chúng ta cùng xem đề bài nhé:

Đề bài: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(x^4 – 5x^2 + 4\)

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, một kỹ thuật rất hữu ích khi gặp các đa thức có dạng đặc biệt như thế này.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Nhận dạng dạng toán và đặt ẩn phụ

Quan sát đa thức \(x^4 – 5x^2 + 4\), chúng ta thấy rằng số mũ của biến \(x\) đều là số chẵn (\(4\) và \(2\)). Đây là một dấu hiệu cho thấy chúng ta có thể đặt ẩn phụ để đưa đa thức về dạng tam thức bậc hai quen thuộc.

Đặt \(t = x^2\).

Khi đó, \(x^4\) sẽ trở thành \((x^2)^2 = t^2\).

Vậy, đa thức ban đầu \(x^4 – 5x^2 + 4\) sẽ được viết lại dưới dạng theo biến \(t\) là:

\(t^2 – 5t + 4\)

Bước 2: Phân tích đa thức bậc hai theo ẩn phụ \(t\)

Bây giờ, chúng ta cần phân tích đa thức \(t^2 – 5t + 4\) thành nhân tử. Chúng ta có thể dùng phương pháp tách hạng tử hoặc nhẩm nghiệm.

Cách 1: Tách hạng tử giữa

Chúng ta tìm hai số có tổng bằng \(-5\) (hệ số của \(t\)) và tích bằng \(4\) (hệ số tự do). Hai số đó là \(-1\) và \(-4\).

Vậy, ta tách hạng tử \(-5t\) thành \(-t – 4t\):

\(t^2 – 5t + 4 = t^2 – t – 4t + 4\)

Nhóm các hạng tử:

\(= (t^2 – t) – (4t – 4)\)

Đặt nhân tử chung trong mỗi nhóm:

\(= t(t – 1) – 4(t – 1)\)

Đặt nhân tử chung \((t – 1)\) ra ngoài:

\(= (t – 1)(t – 4)\)

Cách 2: Nhẩm nghiệm (nếu các em đã học phương trình bậc hai)

Xét phương trình \(t^2 – 5t + 4 = 0\). Ta thấy tổng các hệ số \(a + b + c = 1 + (-5) + 4 = 0\).

Khi đó, phương trình có hai nghiệm là \(t_1 = 1\) và \(t_2 = \frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4\).

Do đó, đa thức \(t^2 – 5t + 4\) có thể phân tích thành nhân tử là \((t – t_1)(t – t_2) = (t – 1)(t – 4)\).

Bước 3: Thay ẩn phụ trở lại

Sau khi đã phân tích đa thức theo biến \(t\), chúng ta thay \(t = x^2\) trở lại vào biểu thức:

\((t – 1)(t – 4) = (x^2 – 1)(x^2 – 4)\)

Bước 4: Phân tích tiếp các nhân tử (nếu có thể)

Đến đây, chúng ta nhận thấy cả hai nhân tử \((x^2 – 1)\) và \((x^2 – 4)\) đều có dạng hiệu của hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)\).

Với nhân tử thứ nhất: \(x^2 – 1 = x^2 – 1^2 = (x – 1)(x + 1)\).

Với nhân tử thứ hai: \(x^2 – 4 = x^2 – 2^2 = (x – 2)(x + 2)\).

Vậy, chúng ta có thể phân tích đa thức ban đầu một cách hoàn chỉnh như sau:

\((x^2 – 1)(x^2 – 4) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2)\)

Kết luận:

Vậy, đa thức \(x^4 – 5x^2 + 4\) được phân tích thành nhân tử là:

\(x^4 – 5x^2 + 4 = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2)\)

Thầy hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em nắm vững hơn cách phân tích đa thức bằng phương pháp đặt ẩn phụ và áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương. Hãy luyện tập thêm các bài tương tự để thành thạo hơn nhé!