Phát biểu Bất đẳng thức Weitzenböck liên hệ giữa tổng bình phương độ…
Chào các em học sinh lớp 9 yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ giới thiệu đến các em một bất đẳng thức hình học rất thú vị và có tính ứng dụng cao trong chương trình nâng cao, đó là Bất đẳng thức Weitzenböck. Đây là kiến thức giúp chúng ta kết nối giữa độ dài ba cạnh và diện tích của một tam giác bất kỳ.
1. Phát biểu Bất đẳng thức Weitzenböck
Đối với một tam giác bất kỳ có độ dài ba cạnh là a, b, c và diện tích là S, tổng bình phương độ dài ba cạnh luôn lớn hơn hoặc bằng bốn lần diện tích tam giác nhân với căn bậc hai của ba. Cụ thể, bất đẳng thức này được biểu diễn qua mối quan hệ: tổng bình phương các cạnh a bình, b bình và c bình lớn hơn hoặc bằng 4 nhân với S nhân với căn bậc hai của 3.
2. Điều kiện cần và đủ để dấu bằng xảy ra
Trong toán học, việc tìm ra điều kiện để dấu bằng xảy ra rất quan trọng vì nó chỉ ra trường hợp cực trị. Đối với bất đẳng thức Weitzenböck, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ban đầu thỏa mãn các điều kiện sau:
- Tam giác đó phải là tam giác đều.
- Ba cạnh của tam giác phải có độ dài bằng nhau, tức là a bằng b và bằng c.
3. Hệ quả trực tiếp khi áp dụng vào tam giác đều
Khi chúng ta áp dụng bất đẳng thức này vào một tam giác đều có cạnh bằng a, ta sẽ thu được một hệ quả vô cùng gọn gàng và đẹp mắt liên hệ trực tiếp giữa diện tích và bình phương độ dài cạnh:
- Diện tích S của tam giác đều lúc này sẽ được tính bằng bình phương cạnh nhân với căn bậc hai của 3 và tất cả chia cho 4.
- Ngược lại, từ công thức này, nếu biết diện tích của một tam giác đều, chúng ta có thể dễ dàng tính ngược lại bình phương độ dài cạnh của nó một cách nhanh chóng mà không cần qua nhiều bước trung gian.
Hy vọng phần giải thích chi tiết trên sẽ giúp các em hiểu rõ bản chất của bất đẳng thức Weitzenböck và vận dụng tốt vào việc giải các bài tập hình học lớp 9 nhé. Chúc các em học tập thật tốt!
Cho \(\triangle\) có ba cạnh \(a, b, c\) và diện tích \(S\). Khi đó:
\(a^2 + b^2 + c^2\) \(\ge\) 4\(\sqrt{3}\)S
Dấu \(“=”\) xảy ra khi và chỉ khi:
\(a = b = c\)
Tức là \(\triangle\) đều.
Hệ quả đối với \(\triangle\) đều
Nếu \(\triangle\) đều có cạnh a thì:
\(S =\) (\(\sqrt{3/4}\)) \(a^2\)
Vậy, trong các \(\triangle\) có cùng diện tích \(S\), \(\triangle\) đều là \(\triangle\) có tổng bình phương ba cạnh nhỏ nhất.
\[\color{#4F94CD}{♡}\color{#BFEFFF}{𝕷}\color{#BBDEFB}{𝖎}\color{#87CEFA}{𝖌}\color{#87CEFF}{𝖚}\color{#63B8FF}{𝖗}\color{#5CACEE}{𝖎}\color{#4F94CD}{♡}\]
\(1.\) Phát biểu bất đẳng thức Weitzenböck:Với một tam giác bất kỳ có độ dài ba cạnh lần lượt là \(a, b, c\) và diện tích là \(S\), ta luôn có:\(a^2 + b^2 + c^2 \ge 4\sqrt{3}S\)
\(2.\) Điều kiện để \(“=”\) xảy ra:\(“=”\) \(<=> a=b=c\)
\(->\) Tam giác đã cho đều
\(3.\) Hệ quả: Áp dụng với tam giác đều
\(-\) Diện tích tam giác đều được tính theo công thức: \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
\(-\)Tổng bình phương ba cạnh là: \(a^2 + b^2 + c^2 = 3a^2\).
\(->\) Hệ quả: Trong tất cả các tam giác có cùng diện tích \(S\), tam giác đều là tam giác có tổng bình phương các cạnh \(a^2 + b^2 + c^2\) đạt giá trị nhỏ nhất (bằng đúng \(4\sqrt{3}S\)). Ngược lại, với một tổng \(a^2 + b^2 + c^2\) không đổi, tam giác đều là tam giác cho diện tích \(S\) lớn nhất (\(S_{max} = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\sqrt{3}}\)).
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment