Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Thầy rất vui khi được đồng hành cùng các em trong giờ Toán ngày hôm nay. Nhân tiện, thầy cũng xin gửi lời chào tạm biệt chuyên mục Hỏi Đáp, hẹn gặp lại các em vào năm sau nhé! Chúc các em có một kỳ nghỉ thật vui vẻ và bổ ích!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán khá thú vị liên quan đến số thập phân vô hạn tuần hoàn và phép phủ định trong Toán học. Đề bài của chúng ta là:

Phủ định mệnh đề: \(2,(7) \times 3,(9) = 9,5(3)\)

Để giải quyết bài này một cách chi tiết, chúng ta sẽ đi qua các bước sau:

1. Tìm hiểu về khái niệm “phủ định” trong Toán học.
2. Chuyển đổi các số thập phân vô hạn tuần hoàn sang dạng phân số.
3. Thực hiện phép tính ở vế trái và so sánh với vế phải để xác định tính đúng sai của mệnh đề gốc.
4. Viết ra mệnh đề phủ định.

Chúng ta hãy bắt đầu nào!

Bước 1: Tìm hiểu về khái niệm “phủ định”

Trong Toán học, phủ định của một mệnh đề là một mệnh đề trái ngược với mệnh đề ban đầu. Nếu mệnh đề ban đầu đúng thì mệnh đề phủ định sai, và ngược lại, nếu mệnh đề ban đầu sai thì mệnh đề phủ định đúng.

Cụ thể, với một mệnh đề dạng đẳng thức \(A = B\), mệnh đề phủ định của nó sẽ là \(A \neq B\). Tức là, chúng ta chỉ cần thay dấu “bằng” (\(=\)) thành dấu “khác” (\(\neq\)).

Bước 2: Chuyển đổi các số thập phân vô hạn tuần hoàn sang dạng phân số

Để thực hiện phép tính và so sánh một cách chính xác, chúng ta cần chuyển các số thập phân vô hạn tuần hoàn về dạng phân số tối giản.

a) Chuyển đổi \(2,(7)\)

Đặt \(x = 2,(7)\). Ta có:

\(x = 2,777…\)

Nhân cả hai vế với 10 để phần thập phân lặp lại trùng khớp:

\(10x = 27,777…\)

Trừ hai phương trình cho nhau:

\(10x – x = 27,777… – 2,777…\)

\(9x = 25\)

\(x = \frac{25}{9}\)

Vậy, \(2,(7) = \frac{25}{9}\).

b) Chuyển đổi \(3,(9)\)

Đặt \(y = 3,(9)\). Ta có:

\(y = 3,999…\)

Nhân cả hai vế với 10:

\(10y = 39,999…\)

Trừ hai phương trình cho nhau:

\(10y – y = 39,999… – 3,999…\)

\(9y = 36\)

\(y = \frac{36}{9}\)

\(y = 4\)

Một cách giải thích khác mà các em có thể thấy thú vị là \(0,(9) = 1\). Vì vậy, \(3,(9) = 3 + 0,(9) = 3 + 1 = 4\).

Vậy, \(3,(9) = 4\).

c) Chuyển đổi \(9,5(3)\)

Đặt \(z = 9,5(3)\). Ta có:

\(z = 9,5333…\)

Nhân \(z\) với 10 để phần lặp lại bắt đầu ngay sau dấu phẩy:

\(10z = 95,333…\)

Nhân \(z\) với 100 để một chu kì lặp lại xuất hiện trước dấu phẩy:

\(100z = 953,333…\)

Trừ hai phương trình \(100z\) và \(10z\):

\(100z – 10z = 953,333… – 95,333…\)

\(90z = 858\)

\(z = \frac{858}{90}\)

Rút gọn phân số bằng cách chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng (ở đây là 6):

\(z = \frac{858 \div 6}{90 \div 6} = \frac{143}{15}\)

Vậy, \(9,5(3) = \frac{143}{15}\).

Bước 3: Thực hiện phép tính và xác định tính đúng sai của mệnh đề gốc

Bây giờ chúng ta sẽ thay các giá trị phân số vào mệnh đề ban đầu:

\(2,(7) \times 3,(9) = 9,5(3)\)

Trở thành:

\(\frac{25}{9} \times 4 = \frac{143}{15}\)

Thực hiện phép nhân ở vế trái:

\(\frac{25}{9} \times 4 = \frac{25 \times 4}{9} = \frac{100}{9}\)

Vậy, mệnh đề gốc trở thành:

\(\frac{100}{9} = \frac{143}{15}\)

Để kiểm tra xem đẳng thức này có đúng không, chúng ta có thể quy đồng mẫu số hoặc đổi về dạng số thập phân:

Cách 1: Quy đồng mẫu số

Mẫu số chung nhỏ nhất của 9 và 15 là 45.

\(\frac{100}{9} = \frac{100 \times 5}{9 \times 5} = \frac{500}{45}\)

\(\frac{143}{15} = \frac{143 \times 3}{15 \times 3} = \frac{429}{45}\)

Vì \(\frac{500}{45} \neq \frac{429}{45}\), nên \(\frac{100}{9} \neq \frac{143}{15}\).

Cách 2: Chuyển sang số thập phân (chỉ để kiểm tra nhanh)

\(\frac{100}{9} = 11,111…\)

\(\frac{143}{15} \approx 9,533…\)

Rõ ràng \(11,111… \neq 9,533…\).

Vậy, mệnh đề gốc “\(2,(7) \times 3,(9) = 9,5(3)\)” là một mệnh đề SAI.

Bước 4: Viết ra mệnh đề phủ định

Như chúng ta đã tìm hiểu ở Bước 1, phủ định của một đẳng thức \(A = B\) là \(A \neq B\).

Do đó, phủ định của mệnh đề “\(2,(7) \times 3,(9) = 9,5(3)\)” là:

\(2,(7) \times 3,(9) \neq 9,5(3)\)

Mệnh đề phủ định này là một mệnh đề ĐÚNG, vì mệnh đề gốc là SAI.

Các em thấy không, một bài toán tưởng chừng phức tạp nhưng khi chúng ta phân tích từng bước một thì sẽ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều! Hãy luôn cố gắng luyện tập để nắm vững kiến thức nhé!

Chúc các em học tốt và có một kỳ nghỉ thật vui vẻ!