Chào các em học sinh,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về dao động điều hòa khá thú vị, liên quan đến việc xác định thời điểm vật đi qua một li độ cho trước theo một chiều xác định. Các em hãy chú ý theo dõi các bước giải chi tiết nhé!

Đề bài:

Phương trình li độ của một vật là: \(x = 4\cos(4\pi t – \pi)\)cm. Vật đi qua li độ \(-2\)cm theo chiều dương vào thời điểm nào?

Phân tích đề bài và Kế hoạch giải:

Chúng ta cần tìm các giá trị của thời gian \(t\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

1. Li độ của vật là \(x = -2\) cm.
2. Vật đang chuyển động theo chiều dương, nghĩa là vận tốc \(v\) của vật phải lớn hơn \(0\) (\(v > 0\)).

Để giải bài này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Thay giá trị li độ \(x = -2\) cm vào phương trình li độ để tìm các pha của dao động.
2. Viết phương trình vận tốc \(v(t)\) bằng cách đạo hàm phương trình li độ \(x(t)\).
3. Áp dụng điều kiện vận tốc \(v > 0\) để chọn ra các pha thỏa mãn.
4. Từ các pha đã chọn, giải phương trình để tìm \(t\).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm thời điểm vật đi qua li độ \(x = -2\) cm.

Ta có phương trình li độ của vật là:

\(x = 4\cos(4\pi t – \pi)\) cm

Theo đề bài, vật đi qua li độ \(x = -2\) cm. Ta thay giá trị này vào phương trình:

\(-2 = 4\cos(4\pi t – \pi)\)

Chia cả hai vế cho \(4\):

\(\cos(4\pi t – \pi) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\)

Để giải phương trình lượng giác \(\cos \theta = -\frac{1}{2}\), chúng ta biết rằng các góc \(\theta\) có cosin bằng \(-1/2\) là:

\(\theta = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\), với \(k\) là một số nguyên (\(k \in \mathbb{Z}\)).

Do đó, chúng ta có hai trường hợp cho pha \((4\pi t – \pi)\):

Trường hợp 1: \(4\pi t – \pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)

Trường hợp 2: \(4\pi t – \pi = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)

Bước 2: Xác định chiều chuyển động của vật (vận tốc \(v > 0\)).

Để xác định chiều chuyển động, chúng ta cần tìm phương trình vận tốc \(v(t)\) bằng cách lấy đạo hàm của phương trình li độ \(x(t)\) theo thời gian \(t\):

\(v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[4\cos(4\pi t – \pi)]\)

Áp dụng quy tắc đạo hàm: \(\frac{d}{dt}[\cos(au+b)] = -a\sin(au+b)\), ở đây \(a = 4\pi\).

\(v = 4 \cdot [-\sin(4\pi t – \pi)] \cdot (4\pi)\)

\(v = -16\pi \sin(4\pi t – \pi)\) cm/s

Theo đề bài, vật đi qua li độ \(-2\) cm theo chiều dương, điều này có nghĩa là vận tốc \(v\) phải dương:

\(v > 0\)

\(-16\pi \sin(4\pi t – \pi) > 0\)

Vì \(-16\pi\) là một số âm, để bất đẳng thức trên đúng, \(\sin(4\pi t – \pi)\) phải là một số âm:

\(\sin(4\pi t – \pi) < 0\)

Bước 3: Kết hợp hai điều kiện để tìm pha thỏa mãn.

Bây giờ chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp của pha từ Bước 1 với điều kiện \(\sin(4\pi t – \pi) < 0\).

Đối với Trường hợp 1: Pha là \(\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)

Xét giá trị sin của góc \(\frac{2\pi}{3}\):

\(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Vì \(\frac{\sqrt{3}}{2} > 0\), điều này không thỏa mãn điều kiện \(\sin(4\pi t – \pi) < 0\).
Vậy, Trường hợp 1 bị loại.

Đối với Trường hợp 2: Pha là \(-\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)

Xét giá trị sin của góc \(-\frac{2\pi}{3}\):

\(\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Vì \(-\frac{\sqrt{3}}{2} < 0\), điều này thỏa mãn điều kiện \(\sin(4\pi t - \pi) < 0\).
Vậy, chúng ta sẽ sử dụng trường hợp này để giải tìm \(t\).

Bước 4: Giải tìm \(t\).

Từ Trường hợp 2 đã chọn:

\(4\pi t – \pi = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)

Chuyển \(\pi\) sang vế phải:

\(4\pi t = \pi – \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)

Thực hiện phép tính với \(\pi\):

\(4\pi t = \frac{3\pi – 2\pi}{3} + 2k\pi\)

\(4\pi t = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\)

Chia cả hai vế cho \(4\pi\):

\(t = \frac{\frac{\pi}{3}}{4\pi} + \frac{2k\pi}{4\pi}\)

\(t = \frac{1}{12} + \frac{k}{2}\)

Vì thời gian \(t\) không thể âm, ta có điều kiện \(t \ge 0\):

\(\frac{1}{12} + \frac{k}{2} \ge 0\)

\(\frac{k}{2} \ge -\frac{1}{12}\)

\(k \ge -\frac{1}{6}\)

Vì \(k\) là số nguyên, nên các giá trị \(k\) hợp lệ là \(0, 1, 2, 3, \dots\).

Các thời điểm cụ thể khi \(k\) nhận các giá trị nguyên không âm:

• Với \(k = 0\): \(t = \frac{1}{12} + \frac{0}{2} = \frac{1}{12}\) s
• Với \(k = 1\): \(t = \frac{1}{12} + \frac{1}{2} = \frac{1 + 6}{12} = \frac{7}{12}\) s
• Với \(k = 2\): \(t = \frac{1}{12} + \frac{2}{2} = \frac{1}{12} + 1 = \frac{13}{12}\) s
• Và cứ thế tiếp tục.

Kết luận:

Vậy, vật đi qua li độ \(-2\) cm theo chiều dương vào các thời điểm có dạng:
\(t = \frac{1}{12} + \frac{k}{2}\) giây, với \(k\) là các số nguyên không âm (\(k = 0, 1, 2, \dots\)).

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài tập này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!