Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán liên quan đến lũy thừa. Đây là một dạng bài rất hay, giúp các em củng cố kiến thức về các phép tính với số mũ. Các em hãy theo dõi thật kỹ từng bước giải nhé!

Đề bài: Tìm số tự nhiên \(n\) biết:

\(5^{n+1} – 5^n = 100 \cdot 25^{29}\)

Bước 1: Rút gọn vế trái (VT) của phương trình.

Vế trái của chúng ta là: \(5^{n+1} – 5^n\)

Các em nhớ lại quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: \(a^m \cdot a^k = a^{m+k}\).

Áp dụng quy tắc này, ta có thể viết \(5^{n+1}\) thành \(5^n \cdot 5^1\) (hoặc đơn giản là \(5^n \cdot 5\)).

Vậy, vế trái trở thành:

\(5^n \cdot 5 – 5^n\)

Ở đây, chúng ta thấy có \(5^n\) là thừa số chung. Chúng ta sẽ đặt \(5^n\) ra ngoài làm thừa số:

\(5^n \cdot (5 – 1)\)

Tính giá trị trong ngoặc:

\(5^n \cdot 4\)

Hoặc chúng ta có thể viết là \(4 \cdot 5^n\).

Bước 2: Rút gọn vế phải (VP) của phương trình.

Vế phải của chúng ta là: \(100 \cdot 25^{29}\)

Mục tiêu của chúng ta là đưa tất cả về cùng một cơ số, thường là cơ số nhỏ nhất có thể, ở đây là \(5\).

Ta thấy:

\(100 = 4 \cdot 25 = 4 \cdot 5^2\)

\(25 = 5^2\)

Bây giờ, thay các giá trị này vào vế phải:

\( (4 \cdot 5^2) \cdot (5^2)^{29}\)

Các em nhớ quy tắc lũy thừa của lũy thừa: \((a^m)^k = a^{m \cdot k}\).

Áp dụng vào \((5^2)^{29}\):

\((5^2)^{29} = 5^{2 \cdot 29} = 5^{58}\)

Vậy, vế phải trở thành:

\(4 \cdot 5^2 \cdot 5^{58}\)

Bây giờ, ta lại áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số cho \(5^2 \cdot 5^{58}\):

\(5^2 \cdot 5^{58} = 5^{2+58} = 5^{60}\)

Cuối cùng, vế phải được rút gọn thành:

\(4 \cdot 5^{60}\)

Bước 3: Đặt hai vế bằng nhau và giải phương trình tìm \(n\).

Sau khi rút gọn cả hai vế, phương trình ban đầu trở thành:

\(4 \cdot 5^n = 4 \cdot 5^{60}\)

Chúng ta thấy cả hai vế đều có thừa số \(4\). Để tìm \(5^n\), ta chia cả hai vế cho \(4\):

\(\frac{4 \cdot 5^n}{4} = \frac{4 \cdot 5^{60}}{4}\)

\(5^n = 5^{60}\)

Khi hai lũy thừa có cùng cơ số (ở đây là \(5\)) và bằng nhau, thì số mũ của chúng cũng phải bằng nhau.

Do đó, ta có:

\(n = 60\)

Vậy, giá trị của \(n\) cần tìm là \(60\).

Kiểm tra lại:

Thay \(n=60\) vào phương trình gốc:

Vế trái: \(5^{60+1} – 5^{60} = 5^{61} – 5^{60} = 5^{60}(5-1) = 5^{60} \cdot 4\)

Vế phải: \(100 \cdot 25^{29} = (4 \cdot 25) \cdot (5^2)^{29} = 4 \cdot 5^2 \cdot 5^{58} = 4 \cdot 5^{2+58} = 4 \cdot 5^{60}\)

Hai vế bằng nhau, vậy kết quả của chúng ta là chính xác!

Chúc các em học tốt và nắm vững kiến thức này nhé!