Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau ôn tập và giải quyết một số bài toán rút gọn biểu thức chứa căn thức. Các em chú ý theo dõi nhé.

Chúng ta sẽ lần lượt đi vào từng câu.

a) \( \sqrt{15a} . \sqrt{3a} \) (a>0)

Để rút gọn biểu thức này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc nhân các căn bậc hai: \( \sqrt{A} . \sqrt{B} = \sqrt{A.B} \) với A, B không âm.

Áp dụng quy tắc, ta có:

\( \sqrt{15a} . \sqrt{3a} = \sqrt{(15a).(3a)} \)

Tiếp theo, ta nhân các biểu thức bên trong căn:

\( \sqrt{(15 \times 3) \times (a \times a)} = \sqrt{45 a^2} \)

Bây giờ, ta phân tích số 45 thành thừa số nguyên tố để tìm căn bậc hai:

\( 45 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5 \)

Vậy, biểu thức trở thành:

\( \sqrt{3^2 \times 5 \times a^2} \)

Sử dụng quy tắc \( \sqrt{x^2} = |x| \), ta có:

\( \sqrt{3^2} \times \sqrt{a^2} \times \sqrt{5} = 3 \times |a| \times \sqrt{5} \)

Vì đề bài cho \( a > 0 \), nên \( |a| = a \).

Kết quả cuối cùng là: \( 3a\sqrt{5} \).

b) \( \sqrt{8a.5ab.10b^3} \)

Tương tự như câu a, chúng ta nhân tất cả các biểu thức bên trong căn thức:

\( \sqrt{(8a) \times (5ab) \times (10b^3)} = \sqrt{(8 \times 5 \times 10) \times (a \times a) \times (b \times b^3)} \)

\( = \sqrt{400 \times a^2 \times b^4} \)

Bây giờ, ta tính căn bậc hai của từng phần:

\( \sqrt{400} = 20 \)

\( \sqrt{a^2} = |a| \)

\( \sqrt{b^4} = \sqrt{(b^2)^2} = |b^2| \). Vì \( b^2 \) luôn không âm, nên \( |b^2| = b^2 \).

Kết hợp lại, ta được:

\( 20 \times |a| \times b^2 \)

Ở đây, đề bài không cho điều kiện của a và b, nên chúng ta giữ nguyên dạng \( |a| \).

Kết quả cuối cùng là: \( 20|a|b^2 \).

c) \( \frac{\sqrt{3ab^4}}{\sqrt{27a}} \) (a>0)

Chúng ta sử dụng quy tắc chia các căn bậc hai: \( \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A}{B}} \) với A không âm và B dương.

Áp dụng quy tắc, ta có:

\( \frac{\sqrt{3ab^4}}{\sqrt{27a}} = \sqrt{\frac{3ab^4}{27a}} \)

Rút gọn biểu thức bên trong căn:

\( \sqrt{\frac{3}{27} \times \frac{a}{a} \times b^4} = \sqrt{\frac{1}{9} \times 1 \times b^4} = \sqrt{\frac{b^4}{9}} \)

Tiếp theo, ta tính căn bậc hai của tử số và mẫu số:

\( \sqrt{\frac{b^4}{9}} = \frac{\sqrt{b^4}}{\sqrt{9}} \)

\( \sqrt{b^4} = \sqrt{(b^2)^2} = |b^2| = b^2 \) (vì \( b^2 \ge 0 \))

\( \sqrt{9} = 3 \)

Vậy, ta có:

\( \frac{b^2}{3} \)

Kết quả cuối cùng là: \( \frac{b^2}{3} \).

d) \( \sqrt{\frac{a^2}{4b^4}} \) (a>=0, b khác 0)

Tương tự câu c, ta có thể tách căn bậc hai của tử và mẫu:

\( \sqrt{\frac{a^2}{4b^4}} = \frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{4b^4}} \)

Xét tử số: \( \sqrt{a^2} = |a| \). Vì đề bài cho \( a \ge 0 \), nên \( |a| = a \).

Xét mẫu số: \( \sqrt{4b^4} = \sqrt{4} \times \sqrt{b^4} = 2 \times \sqrt{(b^2)^2} = 2 \times |b^2| \). Vì \( b^2 \) luôn không âm, nên \( |b^2| = b^2 \).

Vậy, ta có:

\( \frac{a}{2b^2} \)

Kết quả cuối cùng là: \( \frac{a}{2b^2} \).

e) \( \frac{\sqrt{2a^2(1-a)^2}}{\sqrt{50}} \) (a>1)

Đầu tiên, chúng ta rút gọn biểu thức dưới dấu căn ở tử số:

\( \sqrt{2a^2(1-a)^2} = \sqrt{2} \times \sqrt{a^2} \times \sqrt{(1-a)^2} \)

\( \sqrt{a^2} = |a| \). Vì \( a>1 \), nên \( |a| = a \).

\( \sqrt{(1-a)^2} = |1-a| \). Vì \( a>1 \), nên \( 1-a < 0 \). Do đó, \( |1-a| = -(1-a) = a-1 \).

Vậy, tử số là: \( \sqrt{2} \times a \times (a-1) = a(a-1)\sqrt{2} \).

Bây giờ, ta rút gọn mẫu số:

\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \).

Kết hợp tử và mẫu:

\( \frac{a(a-1)\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} \)

Rút gọn \( \sqrt{2} \):

\( \frac{a(a-1)}{5} \)

Kết quả cuối cùng là: \( \frac{a(a-1)}{5} \).

f) \( \sqrt{a^2} + \sqrt{(3-a)^2} \), 0<a<3

Chúng ta sử dụng quy tắc \( \sqrt{x^2} = |x| \) cho cả hai số hạng.

Với số hạng thứ nhất: \( \sqrt{a^2} = |a| \). Vì đề bài cho \( 0 < a < 3 \), nên \( a \) dương, do đó \( |a| = a \).

Với số hạng thứ hai: \( \sqrt{(3-a)^2} = |3-a| \). Vì đề bài cho \( 0 < a < 3 \), nên \( 3-a \) dương (ví dụ, nếu \( a=1 \), \( 3-1=2>0 \); nếu \( a=2.9 \), \( 3-2.9=0.1>0 \)). Do đó, \( |3-a| = 3-a \).

Kết hợp hai kết quả lại:

\( a + (3-a) \)

Thực hiện phép cộng:

\( a + 3 – a = 3 \)

Kết quả cuối cùng là: \( 3 \).

Vậy là chúng ta đã cùng nhau giải quyết xong tất cả các bài tập rút gọn biểu thức chứa căn thức. Các em về nhà ôn tập kỹ các quy tắc đã học và làm thêm bài tập tương tự nhé. Cô chào các em!