Chào các em học sinh lớp 9,

Hôm nay, cô/thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết các bài tập rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai. Đây là một dạng bài rất cơ bản và quan trọng, giúp chúng ta củng cố kỹ năng làm việc với căn thức. Để làm tốt dạng bài này, các em cần nhớ phương pháp chính là phân tích số trong căn thành tích của một số chính phương lớn nhất và một số không phải số chính phương. Sau đó, chúng ta sẽ áp dụng công thức \(\sqrt{A^2 B} = |A|\sqrt{B}\). Vì trong chương trình lớp 9, các biểu thức căn thường là dương hoặc không âm, nên ta có thể viết gọn là \(A\sqrt{B}\) nếu \(A \ge 0\).

Các em hãy cùng theo dõi lời giải chi tiết dưới đây nhé!

Bài a) Rút gọn : \(2\sqrt{128} + \sqrt{162} – \sqrt{200} – 6\sqrt{98}\)

Lời giải chi tiết:

Để rút gọn biểu thức này, trước hết, chúng ta sẽ phân tích mỗi số trong căn thành tích của một số chính phương lớn nhất và một số khác. Mục tiêu là đưa các căn thức về cùng một dạng \(\sqrt{a}\) để có thể cộng trừ các hệ số.

Ta có:

\(\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{8^2 \cdot 2} = 8\sqrt{2}\)

\(\sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = \sqrt{9^2 \cdot 2} = 9\sqrt{2}\)

\(\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{10^2 \cdot 2} = 10\sqrt{2}\)

\(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\)

Bây giờ, chúng ta thay các giá trị đã rút gọn vào biểu thức ban đầu:

\(2\sqrt{128} + \sqrt{162} – \sqrt{200} – 6\sqrt{98}\)

\(= 2 \cdot (8\sqrt{2}) + 9\sqrt{2} – 10\sqrt{2} – 6 \cdot (7\sqrt{2})\)

\(= 16\sqrt{2} + 9\sqrt{2} – 10\sqrt{2} – 42\sqrt{2}\)

Tiếp theo, chúng ta nhóm các hệ số của \(\sqrt{2}\) lại với nhau:

\(= (16 + 9 – 10 – 42)\sqrt{2}\)

\(= (25 – 10 – 42)\sqrt{2}\)

\(= (15 – 42)\sqrt{2}\)

\(= -27\sqrt{2}\)

Vậy, biểu thức đã cho sau khi rút gọn là \(-27\sqrt{2}\).

Bài b) Rút gọn : \(2\sqrt{2} + \sqrt{32} – \frac{1}{3} \sqrt{450} + \frac{2}{7} \sqrt{392}\)

Lời giải chi tiết:

Tương tự như trên, chúng ta sẽ rút gọn từng căn thức:

\(\sqrt{2}\) (đã ở dạng tối giản)

\(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{4^2 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\)

\(\sqrt{450} = \sqrt{225 \cdot 2} = \sqrt{15^2 \cdot 2} = 15\sqrt{2}\)

\(\sqrt{392} = \sqrt{196 \cdot 2} = \sqrt{14^2 \cdot 2} = 14\sqrt{2}\)

Thay các giá trị đã rút gọn vào biểu thức:

\(2\sqrt{2} + \sqrt{32} – \frac{1}{3} \sqrt{450} + \frac{2}{7} \sqrt{392}\)

\(= 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} – \frac{1}{3} \cdot (15\sqrt{2}) + \frac{2}{7} \cdot (14\sqrt{2})\)

\(= 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} – 5\sqrt{2} + 4\sqrt{2}\)

Nhóm các hệ số của \(\sqrt{2}\) lại:

\(= (2 + 4 – 5 + 4)\sqrt{2}\)

\(= (6 – 5 + 4)\sqrt{2}\)

\(= (1 + 4)\sqrt{2}\)

\(= 5\sqrt{2}\)

Vậy, biểu thức đã cho sau khi rút gọn là \(5\sqrt{2}\).

Bài c) Rút gọn : \(\sqrt{450} – \sqrt{392} – \sqrt{338} + \sqrt{242} – \sqrt{288}\)

Lời giải chi tiết:

Chúng ta sẽ rút gọn từng căn thức:

\(\sqrt{450} = \sqrt{225 \cdot 2} = 15\sqrt{2}\)

\(\sqrt{392} = \sqrt{196 \cdot 2} = 14\sqrt{2}\)

\(\sqrt{338} = \sqrt{169 \cdot 2} = 13\sqrt{2}\)

\(\sqrt{242} = \sqrt{121 \cdot 2} = 11\sqrt{2}\)

\(\sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2}\)

Thay các giá trị đã rút gọn vào biểu thức:

\(\sqrt{450} – \sqrt{392} – \sqrt{338} + \sqrt{242} – \sqrt{288}\)

\(= 15\sqrt{2} – 14\sqrt{2} – 13\sqrt{2} + 11\sqrt{2} – 12\sqrt{2}\)

Nhóm các hệ số của \(\sqrt{2}\) lại:

\(= (15 – 14 – 13 + 11 – 12)\sqrt{2}\)

\(= (1 – 13 + 11 – 12)\sqrt{2}\)

\(= (-12 + 11 – 12)\sqrt{2}\)

\(= (-1 – 12)\sqrt{2}\)

\(= -13\sqrt{2}\)

Vậy, biểu thức đã cho sau khi rút gọn là \(-13\sqrt{2}\).

Bài d) Rút gọn : \(5\sqrt{12} – 2\sqrt{48} + 6\sqrt{75} – \sqrt{108}\)

Lời giải chi tiết:

Các em để ý, các số trong căn lần này đều là bội của 3. Chúng ta sẽ rút gọn từng căn thức:

\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\)

\(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\)

\(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\)

\(\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{6^2 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\)

Thay các giá trị đã rút gọn vào biểu thức:

\(5\sqrt{12} – 2\sqrt{48} + 6\sqrt{75} – \sqrt{108}\)

\(= 5 \cdot (2\sqrt{3}) – 2 \cdot (4\sqrt{3}) + 6 \cdot (5\sqrt{3}) – 6\sqrt{3}\)

\(= 10\sqrt{3} – 8\sqrt{3} + 30\sqrt{3} – 6\sqrt{3}\)

Nhóm các hệ số của \(\sqrt{3}\) lại:

\(= (10 – 8 + 30 – 6)\sqrt{3}\)

\(= (2 + 30 – 6)\sqrt{3}\)

\(= (32 – 6)\sqrt{3}\)

\(= 26\sqrt{3}\)

Vậy, biểu thức đã cho sau khi rút gọn là \(26\sqrt{3}\).

Bài e) Rút gọn : \(-\frac{1}{2} \sqrt{108} + \frac{1}{15} \sqrt{75} – \frac{1}{22} \sqrt{363} + \sqrt{12}\)

Lời giải chi tiết:

Chúng ta sẽ rút gọn từng căn thức:

\(\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\)

\(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\)

\(\sqrt{363} = \sqrt{121 \cdot 3} = 11\sqrt{3}\)

\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\)

Thay các giá trị đã rút gọn vào biểu thức:

\(-\frac{1}{2} \sqrt{108} + \frac{1}{15} \sqrt{75} – \frac{1}{22} \sqrt{363} + \sqrt{12}\)

\(= -\frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{3}) + \frac{1}{15} \cdot (5\sqrt{3}) – \frac{1}{22} \cdot (11\sqrt{3}) + 2\sqrt{3}\)

\(= -3\sqrt{3} + \frac{5}{15}\sqrt{3} – \frac{11}{22}\sqrt{3} + 2\sqrt{3}\)

\(= -3\sqrt{3} + \frac{1}{3}\sqrt{3} – \frac{1}{2}\sqrt{3} + 2\sqrt{3}\)

Để cộng trừ các phân số, chúng ta cần tìm mẫu số chung, ở đây là 6:

\(= -\frac{18}{6}\sqrt{3} + \frac{2}{6}\sqrt{3} – \frac{3}{6}\sqrt{3} + \frac{12}{6}\sqrt{3}\)

Nhóm các hệ số của \(\sqrt{3}\) lại:

\(= \left(-\frac{18}{6} + \frac{2}{6} – \frac{3}{6} + \frac{12}{6}\right)\sqrt{3}\)

\(= \frac{-18 + 2 – 3 + 12}{6}\sqrt{3}\)

\(= \frac{-16 – 3 + 12}{6}\sqrt{3}\)

\(= \frac{-19 + 12}{6}\sqrt{3}\)

\(= -\frac{7}{6}\sqrt{3}\)

Vậy, biểu thức đã cho sau khi rút gọn là \(-\frac{7}{6}\sqrt{3}\).

Bài f) Rút gọn : \(\frac{3}{2} \sqrt{12} + \frac{7}{5} \sqrt{75} – \frac{9}{10} \sqrt{300} + \frac{11}{6} \sqrt{108}\)

Lời giải chi tiết:

Tương tự như các bài trước, chúng ta sẽ rút gọn từng căn thức:

\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\)

\(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\)

\(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\)

\(\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\)

Thay các giá trị đã rút gọn vào biểu thức:

\(\frac{3}{2} \sqrt{12} + \frac{7}{5} \sqrt{75} – \frac{9}{10} \sqrt{300} + \frac{11}{6} \sqrt{108}\)

\(= \frac{3}{2} \cdot (2\sqrt{3}) + \frac{7}{5} \cdot (5\sqrt{3}) – \frac{9}{10} \cdot (10\sqrt{3}) + \frac{11}{6} \cdot (6\sqrt{3})\)

\(= 3\sqrt{3} + 7\sqrt{3} – 9\sqrt{3} + 11\sqrt{3}\)

Nhóm các hệ số của \(\sqrt{3}\) lại:

\(= (3 + 7 – 9 + 11)\sqrt{3}\)

\(= (10 – 9 + 11)\sqrt{3}\)

\(= (1 + 11)\sqrt{3}\)

\(= 12\sqrt{3}\)

Vậy, biểu thức đã cho sau khi rút gọn là \(12\sqrt{3}\).

Hy vọng qua các bài tập trên, các em đã nắm vững hơn phương pháp rút gọn và cộng trừ các căn thức đồng dạng. Hãy tiếp tục luyện tập để thành thạo hơn nữa nhé! Chúc các em học tốt!