Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em cách rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai. Đây là một dạng bài tập rất quan trọng, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các công thức và kỹ năng biến đổi căn thức.

Giải:

Để rút gọn các biểu thức này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Phân tích các số dưới dấu căn thành tích của một số chính phương lớn nhất và một số khác.
2. Áp dụng công thức \( \sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b} \) (vì trong các bài toán này, \(a\) thường dương nên ta có thể viết là \(a\sqrt{b}\)).
3. Thu gọn các căn thức đồng dạng (cùng phần căn) bằng cách cộng hoặc trừ các hệ số của chúng.

Bây giờ, chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết từng bài nhé!

---

a) \( -\sqrt{242} + \sqrt{288} – 5\sqrt{2} + 3\sqrt{338} \)

Bước 1: Rút gọn từng căn thức trong biểu thức.

Chúng ta nhận thấy rằng tất cả các số dưới dấu căn đều có thể phân tích thành tích của một số chính phương và số 2. Vậy, ta sẽ cố gắng đưa về dạng \( a\sqrt{2} \).

\( \sqrt{242} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{11^2 \times 2} = 11\sqrt{2} \)

\( \sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = \sqrt{12^2 \times 2} = 12\sqrt{2} \)

\( 5\sqrt{2} \) (đã ở dạng đơn giản nhất)

\( \sqrt{338} = \sqrt{169 \times 2} = \sqrt{13^2 \times 2} = 13\sqrt{2} \)

Bước 2: Thay thế các căn thức đã rút gọn vào biểu thức ban đầu.

\( -\left(11\sqrt{2}\right) + 12\sqrt{2} – 5\sqrt{2} + 3\left(13\sqrt{2}\right) \)

Bước 3: Thực hiện phép nhân (nếu có).

\( -11\sqrt{2} + 12\sqrt{2} – 5\sqrt{2} + 39\sqrt{2} \)

Bước 4: Cộng trừ các căn thức đồng dạng (cùng có \( \sqrt{2} \)).

Ta nhóm các hệ số lại với nhau:

\( (-11 + 12 – 5 + 39)\sqrt{2} \)

Thực hiện phép tính trong ngoặc:

\( = (1 – 5 + 39)\sqrt{2} \)

\( = (-4 + 39)\sqrt{2} \)

\( = 35\sqrt{2} \)

---

b) \( 10\sqrt{72} – \frac{5}{3} \sqrt{162} + \sqrt{128} – 2\sqrt{50} + \sqrt{98} \)

Bước 1: Rút gọn từng căn thức.

Tương tự như câu a, các số dưới dấu căn đều có thể đưa về dạng \( a\sqrt{2} \).

\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{6^2 \times 2} = 6\sqrt{2} \)

\( \sqrt{162} = \sqrt{81 \times 2} = \sqrt{9^2 \times 2} = 9\sqrt{2} \)

\( \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{8^2 \times 2} = 8\sqrt{2} \)

\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{5^2 \times 2} = 5\sqrt{2} \)

\( \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{7^2 \times 2} = 7\sqrt{2} \)

Bước 2: Thay thế các căn thức đã rút gọn vào biểu thức ban đầu.

\( 10(6\sqrt{2}) – \frac{5}{3}(9\sqrt{2}) + 8\sqrt{2} – 2(5\sqrt{2}) + 7\sqrt{2} \)

Bước 3: Thực hiện phép nhân.

\( 60\sqrt{2} – \frac{45}{3}\sqrt{2} + 8\sqrt{2} – 10\sqrt{2} + 7\sqrt{2} \)

\( 60\sqrt{2} – 15\sqrt{2} + 8\sqrt{2} – 10\sqrt{2} + 7\sqrt{2} \)

Bước 4: Cộng trừ các căn thức đồng dạng.

\( (60 – 15 + 8 – 10 + 7)\sqrt{2} \)

\( = (45 + 8 – 10 + 7)\sqrt{2} \)

\( = (53 – 10 + 7)\sqrt{2} \)

\( = (43 + 7)\sqrt{2} \)

\( = 50\sqrt{2} \)

---

c) \( \frac{1}{9} \sqrt{162} – \frac{3}{4} \sqrt{128} + \frac{12}{13} \sqrt{338} – \frac{7}{24} \sqrt{288} \)

Bước 1: Rút gọn từng căn thức.

Các căn thức này cũng có thể đưa về dạng \( a\sqrt{2} \).

\( \sqrt{162} = \sqrt{81 \times 2} = 9\sqrt{2} \)

\( \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2} \)

\( \sqrt{338} = \sqrt{169 \times 2} = 13\sqrt{2} \)

\( \sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = 12\sqrt{2} \)

Bước 2: Thay thế các căn thức đã rút gọn vào biểu thức ban đầu.

\( \frac{1}{9}(9\sqrt{2}) – \frac{3}{4}(8\sqrt{2}) + \frac{12}{13}(13\sqrt{2}) – \frac{7}{24}(12\sqrt{2}) \)

Bước 3: Thực hiện phép nhân.

\( \frac{9}{9}\sqrt{2} – \frac{24}{4}\sqrt{2} + \frac{156}{13}\sqrt{2} – \frac{84}{24}\sqrt{2} \)

Rút gọn các phân số:

\( 1\sqrt{2} – 6\sqrt{2} + 12\sqrt{2} – \frac{7 \times 12}{2 \times 12}\sqrt{2} \)

\( \sqrt{2} – 6\sqrt{2} + 12\sqrt{2} – \frac{7}{2}\sqrt{2} \)

Bước 4: Cộng trừ các căn thức đồng dạng.

\( (1 – 6 + 12 – \frac{7}{2})\sqrt{2} \)

\( = (-5 + 12 – \frac{7}{2})\sqrt{2} \)

\( = (7 – \frac{7}{2})\sqrt{2} \)

Để thực hiện phép trừ này, ta quy đồng mẫu số:

\( = (\frac{14}{2} – \frac{7}{2})\sqrt{2} \)

\( = \frac{7}{2}\sqrt{2} \)

---

d) \( 2\sqrt{147} – \frac{3}{32} \sqrt{192} + \frac{4}{18} \sqrt{243} – \frac{1}{10} \sqrt{300} \)

Bước 1: Rút gọn từng căn thức.

Quan sát các số dưới dấu căn, chúng ta có thể thấy chúng đều chia hết cho 3. Vậy, ta sẽ đưa chúng về dạng \( a\sqrt{3} \).

\( \sqrt{147} = \sqrt{49 \times 3} = \sqrt{7^2 \times 3} = 7\sqrt{3} \)

\( \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = \sqrt{8^2 \times 3} = 8\sqrt{3} \)

\( \sqrt{243} = \sqrt{81 \times 3} = \sqrt{9^2 \times 3} = 9\sqrt{3} \)

\( \sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = \sqrt{10^2 \times 3} = 10\sqrt{3} \)

Bước 2: Thay thế các căn thức đã rút gọn vào biểu thức ban đầu.

\( 2(7\sqrt{3}) – \frac{3}{32}(8\sqrt{3}) + \frac{4}{18}(9\sqrt{3}) – \frac{1}{10}(10\sqrt{3}) \)

Bước 3: Thực hiện phép nhân.

\( 14\sqrt{3} – \frac{24}{32}\sqrt{3} + \frac{36}{18}\sqrt{3} – \frac{10}{10}\sqrt{3} \)

Rút gọn các phân số:

\( 14\sqrt{3} – \frac{3 \times 8}{4 \times 8}\sqrt{3} + 2\sqrt{3} – 1\sqrt{3} \)

\( 14\sqrt{3} – \frac{3}{4}\sqrt{3} + 2\sqrt{3} – \sqrt{3} \)

Bước 4: Cộng trừ các căn thức đồng dạng.

\( (14 – \frac{3}{4} + 2 – 1)\sqrt{3} \)

\( = (16 – 1 – \frac{3}{4})\sqrt{3} \)

\( = (15 – \frac{3}{4})\sqrt{3} \)

Quy đồng mẫu số:

\( = (\frac{60}{4} – \frac{3}{4})\sqrt{3} \)

\( = \frac{57}{4}\sqrt{3} \)

---

e) \( \frac{5}{8} \sqrt{48} – \frac{1}{33} \sqrt{363} + \frac{3}{14} \sqrt{147} – \frac{1}{4} \sqrt{192} \)

Bước 1: Rút gọn từng căn thức.

Các căn thức này cũng có thể đưa về dạng \( a\sqrt{3} \).

\( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{4^2 \times 3} = 4\sqrt{3} \)

\( \sqrt{363} = \sqrt{121 \times 3} = \sqrt{11^2 \times 3} = 11\sqrt{3} \)

\( \sqrt{147} = \sqrt{49 \times 3} = \sqrt{7^2 \times 3} = 7\sqrt{3} \)

\( \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = \sqrt{8^2 \times 3} = 8\sqrt{3} \)

Bước 2: Thay thế các căn thức đã rút gọn vào biểu thức ban đầu.

\( \frac{5}{8}(4\sqrt{3}) – \frac{1}{33}(11\sqrt{3}) + \frac{3}{14}(7\sqrt{3}) – \frac{1}{4}(8\sqrt{3}) \)

Bước 3: Thực hiện phép nhân.

\( \frac{20}{8}\sqrt{3} – \frac{11}{33}\sqrt{3} + \frac{21}{14}\sqrt{3} – \frac{8}{4}\sqrt{3} \)

Rút gọn các phân số:

\( \frac{5 \times 4}{2 \times 4}\sqrt{3} – \frac{1 \times 11}{3 \times 11}\sqrt{3} + \frac{3 \times 7}{2 \times 7}\sqrt{3} – 2\sqrt{3} \)

\( \frac{5}{2}\sqrt{3} – \frac{1}{3}\sqrt{3} + \frac{3}{2}\sqrt{3} – 2\sqrt{3} \)

Bước 4: Cộng trừ các căn thức đồng dạng.

\( (\frac{5}{2} – \frac{1}{3} + \frac{3}{2} – 2)\sqrt{3} \)

Nhóm các phân số có cùng mẫu số:

\( ((\frac{5}{2} + \frac{3}{2}) – \frac{1}{3} – 2)\sqrt{3} \)

\( (\frac{8}{2} – \frac{1}{3} – 2)\sqrt{3} \)

\( (4 – \frac{1}{3} – 2)\sqrt{3} \)

\( (2 – \frac{1}{3})\sqrt{3} \)

Quy đồng mẫu số:

\( (\frac{6}{3} – \frac{1}{3})\sqrt{3} \)

\( = \frac{5}{3}\sqrt{3} \)

Thầy hy vọng qua các ví dụ này, các em đã nắm vững hơn cách rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo dạng bài này nhé!