Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải các bài toán rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai. Đây là một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Để làm tốt dạng bài này, các em cần nắm vững các công thức biến đổi căn thức, đặc biệt là cách khử mẫu của biểu thức chứa căn và đưa các biểu thức dạng \( \sqrt{A \pm B\sqrt{C}} \) về dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu.

Chúng ta hãy cùng đi vào từng bài tập nhé!

— Bài giải chi tiết —

a) Rút gọn biểu thức E

Cho biểu thức: \( E = \left[ \frac{7}{\sqrt{2} – 1} + \frac{56}{\sqrt{2} – 4} + \frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \right] : \sqrt{12 – 6\sqrt{3}} \)

Bước 1: Rút gọn từng phân số trong ngoặc vuông.

Phân số thứ nhất: \( \frac{7}{\sqrt{2} – 1} \)

Để khử căn ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu là \( (\sqrt{2} + 1) \).

\( \frac{7}{\sqrt{2} – 1} = \frac{7(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} – 1)(\sqrt{2} + 1)} \)

\( = \frac{7(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2})^2 – 1^2} \)

\( = \frac{7(\sqrt{2} + 1)}{2 – 1} \)

\( = \frac{7(\sqrt{2} + 1)}{1} = 7\sqrt{2} + 7 \)

Phân số thứ hai: \( \frac{56}{\sqrt{2} – 4} \)

Nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu là \( (\sqrt{2} + 4) \).

\( \frac{56}{\sqrt{2} – 4} = \frac{56(\sqrt{2} + 4)}{(\sqrt{2} – 4)(\sqrt{2} + 4)} \)

\( = \frac{56(\sqrt{2} + 4)}{(\sqrt{2})^2 – 4^2} \)

\( = \frac{56(\sqrt{2} + 4)}{2 – 16} \)

\( = \frac{56(\sqrt{2} + 4)}{-14} \)

\( = -4(\sqrt{2} + 4) = -4\sqrt{2} – 16 \)

Phân số thứ ba: \( \frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \)

Nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu là \( (\sqrt{3} – \sqrt{2}) \).

\( \frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{3} – \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} – \sqrt{2})} \)

\( = \frac{3(\sqrt{3} – \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2 – (\sqrt{2})^2} \)

\( = \frac{3(\sqrt{3} – \sqrt{2})}{3 – 2} \)

\( = \frac{3(\sqrt{3} – \sqrt{2})}{1} = 3\sqrt{3} – 3\sqrt{2} \)

Bước 2: Cộng các kết quả vừa rút gọn để được biểu thức trong ngoặc vuông.

Ngoặc vuông \( = (7\sqrt{2} + 7) + (-4\sqrt{2} – 16) + (3\sqrt{3} – 3\sqrt{2}) \)

Phân loại các số hạng đồng dạng:

\( = (7\sqrt{2} – 4\sqrt{2} – 3\sqrt{2}) + (7 – 16) + 3\sqrt{3} \)

\( = (7 – 4 – 3)\sqrt{2} – 9 + 3\sqrt{3} \)

\( = 0\sqrt{2} – 9 + 3\sqrt{3} \)

\( = 3\sqrt{3} – 9 \)

Bước 3: Rút gọn biểu thức ở mẫu của phép chia.

\( \sqrt{12 – 6\sqrt{3}} \)

Chúng ta biến đổi \( 6\sqrt{3} \) thành \( 2 \cdot 3\sqrt{3} \). Mục tiêu là đưa về dạng \( \sqrt{A – 2\sqrt{B}} = \sqrt{(\sqrt{x} – \sqrt{y})^2} \).

Ta cần tìm hai số \( x, y \) sao cho \( x + y = 12 \) và \( xy = (3\sqrt{3})^2 = 27 \).

Hai số đó là 9 và 3.

\( \sqrt{12 – 6\sqrt{3}} = \sqrt{9 – 2 \cdot 3\sqrt{3} + 3} \)

\( = \sqrt{9 – 2\sqrt{9 \cdot 3} + 3} \)

\( = \sqrt{(\sqrt{9} – \sqrt{3})^2} \)

\( = | \sqrt{9} – \sqrt{3} | \)

\( = | 3 – \sqrt{3} | \)

Vì \( 3 > \sqrt{3} \) nên \( 3 – \sqrt{3} > 0 \).

\( = 3 – \sqrt{3} \)

Bước 4: Thực hiện phép chia.

\( E = (3\sqrt{3} – 9) : (3 – \sqrt{3}) \)

\( E = \frac{3\sqrt{3} – 9}{3 – \sqrt{3}} \)

Ta nhận thấy tử số có thể đặt nhân tử chung là \( -3 \):

\( E = \frac{-3(3 – \sqrt{3})}{3 – \sqrt{3}} \)

Rút gọn tử và mẫu:

\( E = -3 \)

Vậy, biểu thức E sau khi rút gọn là \( \mathbf{-3} \).

b) Rút gọn biểu thức F

Cho biểu thức: \( F = \left[ \frac{8}{\sqrt{3} – 1} – \frac{4}{\sqrt{3} + 1} + \frac{4}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \right] : \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} \)

Bước 1: Rút gọn từng phân số trong ngoặc vuông.

Phân số thứ nhất: \( \frac{8}{\sqrt{3} – 1} \)

Nhân cả tử và mẫu với \( (\sqrt{3} + 1) \).

\( \frac{8}{\sqrt{3} – 1} = \frac{8(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} + 1)} \)

\( = \frac{8(\sqrt{3} + 1)}{3 – 1} \)

\( = \frac{8(\sqrt{3} + 1)}{2} = 4(\sqrt{3} + 1) = 4\sqrt{3} + 4 \)

Phân số thứ hai: \( \frac{4}{\sqrt{3} + 1} \)

Nhân cả tử và mẫu với \( (\sqrt{3} – 1) \).

\( \frac{4}{\sqrt{3} + 1} = \frac{4(\sqrt{3} – 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1)} \)

\( = \frac{4(\sqrt{3} – 1)}{3 – 1} \)

\( = \frac{4(\sqrt{3} – 1)}{2} = 2(\sqrt{3} – 1) = 2\sqrt{3} – 2 \)

Phân số thứ ba: \( \frac{4}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \)

Nhân cả tử và mẫu với \( (\sqrt{5} – \sqrt{3}) \).

\( \frac{4}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{5} – \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} – \sqrt{3})} \)

\( = \frac{4(\sqrt{5} – \sqrt{3})}{5 – 3} \)

\( = \frac{4(\sqrt{5} – \sqrt{3})}{2} = 2(\sqrt{5} – \sqrt{3}) = 2\sqrt{5} – 2\sqrt{3} \)

Bước 2: Cộng các kết quả vừa rút gọn để được biểu thức trong ngoặc vuông.

Ngoặc vuông \( = (4\sqrt{3} + 4) – (2\sqrt{3} – 2) + (2\sqrt{5} – 2\sqrt{3}) \)

\( = 4\sqrt{3} + 4 – 2\sqrt{3} + 2 + 2\sqrt{5} – 2\sqrt{3} \)

Phân loại các số hạng đồng dạng:

\( = (4\sqrt{3} – 2\sqrt{3} – 2\sqrt{3}) + (4 + 2) + 2\sqrt{5} \)

\( = (4 – 2 – 2)\sqrt{3} + 6 + 2\sqrt{5} \)

\( = 0\sqrt{3} + 6 + 2\sqrt{5} \)

\( = 6 + 2\sqrt{5} \)

Bước 3: Rút gọn biểu thức ở mẫu của phép chia.

\( \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} \)

Biến đổi \( 6\sqrt{5} \) thành \( 2 \cdot 3\sqrt{5} \).

Ta cần tìm hai số \( x, y \) sao cho \( x + y = 14 \) và \( xy = (3\sqrt{5})^2 = 45 \).

Hai số đó là 9 và 5.

\( \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = \sqrt{9 + 2 \cdot 3\sqrt{5} + 5} \)

\( = \sqrt{9 + 2\sqrt{9 \cdot 5} + 5} \)

\( = \sqrt{(\sqrt{9} + \sqrt{5})^2} \)

\( = | \sqrt{9} + \sqrt{5} | \)

\( = | 3 + \sqrt{5} | \)

Vì \( 3 + \sqrt{5} > 0 \).

\( = 3 + \sqrt{5} \)

Bước 4: Thực hiện phép chia.

\( F = (6 + 2\sqrt{5}) : (3 + \sqrt{5}) \)

\( F = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} \)

Ta nhận thấy tử số có thể đặt nhân tử chung là 2:

\( F = \frac{2(3 + \sqrt{5})}{3 + \sqrt{5}} \)

Rút gọn tử và mẫu:

\( F = 2 \)

Vậy, biểu thức F sau khi rút gọn là \( \mathbf{2} \).

c) Rút gọn biểu thức G

Cho biểu thức: \( G = \frac{1}{\sqrt{4 – 2\sqrt{3}}} – \frac{1}{\sqrt{7 – \sqrt{48}}} + \frac{3}{\sqrt{12 – 6\sqrt{3}}} \)

Bước 1: Rút gọn các mẫu số.

Mẫu số thứ nhất: \( \sqrt{4 – 2\sqrt{3}} \)

Ta thấy \( 4 = 3 + 1 \) và \( 3 = 3 \cdot 1 \). Vậy đây là dạng \( \sqrt{(\sqrt{3} – \sqrt{1})^2} \).

\( \sqrt{4 – 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 – 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2} \)

\( = \sqrt{(\sqrt{3} – 1)^2} \)

\( = | \sqrt{3} – 1 | \)

Vì \( \sqrt{3} > 1 \), nên \( \sqrt{3} – 1 > 0 \).

\( = \sqrt{3} – 1 \)

Mẫu số thứ hai: \( \sqrt{7 – \sqrt{48}} \)

Đầu tiên, ta rút gọn \( \sqrt{48} \): \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \).

Vậy, \( \sqrt{7 – \sqrt{48}} = \sqrt{7 – 4\sqrt{3}} \)

Biến đổi \( 4\sqrt{3} \) thành \( 2 \cdot 2\sqrt{3} \).

Ta cần tìm hai số \( x, y \) sao cho \( x + y = 7 \) và \( xy = (2\sqrt{3})^2 = 12 \).

Hai số đó là 4 và 3.

\( \sqrt{7 – 4\sqrt{3}} = \sqrt{4 – 2\sqrt{4 \cdot 3} + 3} \)

\( = \sqrt{(\sqrt{4} – \sqrt{3})^2} \)

\( = | 2 – \sqrt{3} | \)

Vì \( 2 > \sqrt{3} \), nên \( 2 – \sqrt{3} > 0 \).

\( = 2 – \sqrt{3} \)

Mẫu số thứ ba: \( \sqrt{12 – 6\sqrt{3}} \)

Chúng ta đã rút gọn biểu thức này ở phần a).

\( \sqrt{12 – 6\sqrt{3}} = 3 – \sqrt{3} \)

Bước 2: Viết lại biểu thức G với các mẫu số đã rút gọn.

\( G = \frac{1}{\sqrt{3} – 1} – \frac{1}{2 – \sqrt{3}} + \frac{3}{3 – \sqrt{3}} \)

Bước 3: Khử căn ở mẫu cho từng phân số.

Phân số thứ nhất: \( \frac{1}{\sqrt{3} – 1} \)

\( = \frac{1(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\sqrt{3} + 1}{3 – 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \)

Phân số thứ hai: \( \frac{1}{2 – \sqrt{3}} \)

\( = \frac{1(2 + \sqrt{3})}{(2 – \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 – 3} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1} = 2 + \sqrt{3} \)

Phân số thứ ba: \( \frac{3}{3 – \sqrt{3}} \)

\( = \frac{3(3 + \sqrt{3})}{(3 – \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{3(3 + \sqrt{3})}{9 – 3} = \frac{3(3 + \sqrt{3})}{6} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \)

Bước 4: Cộng trừ các phân số đã rút gọn.

\( G = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} – (2 + \sqrt{3}) + \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \)

\( G = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} – \frac{2(2 + \sqrt{3})}{2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \)

\( G = \frac{\sqrt{3} + 1 – (4 + 2\sqrt{3}) + 3 + \sqrt{3}}{2} \)

\( G = \frac{\sqrt{3} + 1 – 4 – 2\sqrt{3} + 3 + \sqrt{3}}{2} \)

Gộp các số hạng đồng dạng:

\( G = \frac{(\sqrt{3} – 2\sqrt{3} + \sqrt{3}) + (1 – 4 + 3)}{2} \)

\( G = \frac{0\sqrt{3} + 0}{2} \)

\( G = \frac{0}{2} = 0 \)

Vậy, biểu thức G sau khi rút gọn là \( \mathbf{0} \).

d) Rút gọn biểu thức H

Cho biểu thức: \( H = \frac{(\sqrt{3} – \sqrt{2})^2 + 4\sqrt{6}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} \cdot (\sqrt{3} – \sqrt{2}) \)

Bước 1: Rút gọn tử số của phân số thứ nhất.

Tử số \( = (\sqrt{3} – \sqrt{2})^2 + 4\sqrt{6} \)

Áp dụng hằng đẳng thức \( (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \):

\( (\sqrt{3} – \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 – 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 \)

\( = 3 – 2\sqrt{6} + 2 \)

\( = 5 – 2\sqrt{6} \)

Vậy, tử số \( = (5 – 2\sqrt{6}) + 4\sqrt{6} \)

\( = 5 + (-2 + 4)\sqrt{6} \)

\( = 5 + 2\sqrt{6} \)

Bước 2: Rút gọn mẫu số của phân số thứ nhất.

Mẫu số \( = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 \)

Áp dụng hằng đẳng thức \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \):

\( (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 \)

\( = 3 + 2\sqrt{6} + 2 \)

\( = 5 + 2\sqrt{6} \)

Bước 3: Thay các biểu thức đã rút gọn vào H.

\( H = \frac{5 + 2\sqrt{6}}{5 + 2\sqrt{6}} \cdot (\sqrt{3} – \sqrt{2}) \)

Bước 4: Thực hiện phép tính.

Ta thấy phân số đầu tiên có tử số và mẫu số giống nhau, nên giá trị của nó là 1.

\( H = 1 \cdot (\sqrt{3} – \sqrt{2}) \)

\( H = \sqrt{3} – \sqrt{2} \)

Vậy, biểu thức H sau khi rút gọn là \( \mathbf{\sqrt{3} – \sqrt{2}} \).

—

Các em thấy đó, việc rút gọn biểu thức chứa căn thức đòi hỏi chúng ta phải kiên nhẫn, cẩn thận trong từng bước biến đổi và áp dụng đúng các công thức. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo dạng bài này nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy (cô) nhé!