Bài toán: Rút gọn biểu thức \(Q = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{7}{x – 4} \right) : \left( \frac{\sqrt{x} – 1}{\sqrt{x} – 2} – 1 \right)\) với \(x \geq 0\) và \(x \neq 4\)

Lời giải:

Trước hết, chúng ta cần xác định điều kiện xác định của biểu thức. Theo đề bài, ta có \(x \geq 0\) và \(x \neq 4\). Điều này đảm bảo các mẫu số trong biểu thức đều khác 0.

Chúng ta sẽ tiến hành rút gọn từng phần của biểu thức.

Bước 1: Rút gọn biểu thức trong ngoặc thứ nhất

Ta có: \( \frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{7}{x – 4} \)

Nhận thấy \(x – 4 = (\sqrt{x} – 2)(\sqrt{x} + 2)\). Đây là dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Vậy, ta quy đồng mẫu số:

\( \frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{7}{(\sqrt{x} – 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{1 \cdot (\sqrt{x} – 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} – 2)} + \frac{7}{(\sqrt{x} – 2)(\sqrt{x} + 2)} \)

\( = \frac{\sqrt{x} – 2 + 7}{(\sqrt{x} – 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{\sqrt{x} + 5}{x – 4} \)

Bước 2: Rút gọn biểu thức trong ngoặc thứ hai

Ta có: \( \frac{\sqrt{x} – 1}{\sqrt{x} – 2} – 1 \)

Quy đồng mẫu số:

\( \frac{\sqrt{x} – 1}{\sqrt{x} – 2} – \frac{1 \cdot (\sqrt{x} – 2)}{\sqrt{x} – 2} = \frac{(\sqrt{x} – 1) – (\sqrt{x} – 2)}{\sqrt{x} – 2} \)

\( = \frac{\sqrt{x} – 1 – \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} – 2} = \frac{1}{\sqrt{x} – 2} \)

Bước 3: Thực hiện phép chia hai biểu thức đã rút gọn

Bây giờ, biểu thức \(Q\) trở thành phép chia hai biểu thức chúng ta vừa rút gọn ở Bước 1 và Bước 2:

\(Q = \left( \frac{\sqrt{x} + 5}{x – 4} \right) : \left( \frac{1}{\sqrt{x} – 2} \right)\)

Chia hai phân số chính là nhân phân số thứ nhất với nghịch đảo của phân số thứ hai:

\(Q = \frac{\sqrt{x} + 5}{x – 4} \cdot \frac{\sqrt{x} – 2}{1}\)

Tiếp tục sử dụng \(x – 4 = (\sqrt{x} – 2)(\sqrt{x} + 2)\):

\(Q = \frac{\sqrt{x} + 5}{(\sqrt{x} – 2)(\sqrt{x} + 2)} \cdot (\sqrt{x} – 2)\)

Ta thấy có thừa số \((\sqrt{x} – 2)\) ở cả tử và mẫu, nên ta có thể rút gọn chúng (lưu ý điều kiện \(x \neq 4\) để \(\sqrt{x} – 2 \neq 0\)):

\(Q = \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 2}\)

Vậy, biểu thức \(Q\) sau khi rút gọn là \( \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 2} \).

Các em thấy đó, việc thực hiện từng bước cẩn thận, đặc biệt là quy đồng mẫu số và phân tích nhân tử (hằng đẳng thức), sẽ giúp chúng ta giải quyết bài toán dễ dàng hơn. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi nhé!