Chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về các lũy thừa của số 3 nhé. Bài toán yêu cầu chúng ta tính tổng \(S\) sau đây:

\(S = 3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^{2017}\)

Đây là một dạng tổng đặc biệt, và chúng ta có một “bí quyết” để giải quyết nó một cách rất nhanh chóng đấy!

Chúng ta hãy cùng nhau thực hiện từng bước một nhé:

Bước 1: Viết lại biểu thức S

Chúng ta có biểu thức \(S\) ban đầu là:

\(S = 3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^{2017}\) (Đây là phương trình (1))

Bước 2: Nhân S với 3

Vì các số hạng trong tổng \(S\) đều là lũy thừa của 3 (số mũ tăng dần), chúng ta sẽ thử nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3. Các em hãy quan sát điều kỳ diệu sẽ xảy ra nhé!

\(3S = 3 \times (3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^{2017})\)

Khi nhân 3 vào từng số hạng trong ngoặc, chúng ta sẽ được:

\(3S = 3 \times 3 + 3 \times 3^2 + 3 \times 3^3 + … + 3 \times 3^{2017}\)

Nhớ lại quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\). Vậy thì:

\(3S = 3^2 + 3^3 + 3^4 + … + 3^{2018}\) (Đây là phương trình (2))

Bước 3: Lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (1)

Bây giờ, chúng ta sẽ lấy biểu thức \(3S\) mà chúng ta vừa tìm được trừ đi biểu thức \(S\) ban đầu. Các em hãy chú ý kỹ nhé, sẽ có rất nhiều số hạng tự “biến mất” đấy!

\(3S – S = (3^2 + 3^3 + 3^4 + … + 3^{2018}) – (3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^{2017})\)

Khi chúng ta bỏ ngoặc, các em sẽ thấy rõ hơn:

\(3S – S = 3^2 + 3^3 + 3^4 + … + 3^{2017} + 3^{2018} – 3 – 3^2 – 3^3 – … – 3^{2017}\)

Các em có thấy các số hạng giống nhau không? Ví dụ: \(3^2\) ở vế đầu tiên sẽ bị trừ đi bởi \(-3^2\) ở vế thứ hai. Tương tự như vậy với \(3^3\), \(3^4\) và cứ thế cho đến \(3^{2017}\). Các số hạng này sẽ triệt tiêu lẫn nhau!

Vậy, sau khi triệt tiêu các số hạng giống nhau, chúng ta còn lại:

\(2S = 3^{2018} – 3\)

Tuyệt vời phải không nào? Từ một tổng dài dằng dặc, chúng ta đã rút gọn nó chỉ còn hai số hạng!

Bước 4: Tìm S

Từ phương trình \(2S = 3^{2018} – 3\), để tìm \(S\), chúng ta chỉ việc chia cả hai vế cho 2:

\(S = \frac{3^{2018} – 3}{2}\)

Vậy là chúng ta đã hoàn thành bài toán rồi đó các em! Chúng ta không cần phải tính ra giá trị cụ thể của \(3^{2018}\) vì số này quá lớn, chúng ta chỉ cần để dưới dạng lũy thừa thôi.

Kết luận:

Tổng \(S = 3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^{2017}\) có giá trị là:

\(S = \frac{3^{2018} – 3}{2}\)

Các em thấy bài toán này có hay không? Hãy ghi nhớ cách làm này nhé, nó sẽ rất hữu ích cho các em khi gặp các bài toán tương tự đấy! Cô chúc các em học thật tốt!