Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về tổng chuỗi số rất thú vị. Đây là dạng bài thường gặp và đòi hỏi sự tinh ý một chút trong việc biến đổi các số hạng. Đừng lo lắng, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em từng bước một thật chi tiết nhé!

Đề bài: Tính tổng:

\( S = \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{3 \cdot 6} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \dots + \frac{1}{101 \cdot 104} + \frac{1}{102 \cdot 105} \)

Phân tích và Giải bài:

Bước 1: Phân tích số hạng tổng quát

Trước hết, chúng ta hãy quan sát các số hạng trong tổng S. Các em có thấy một quy luật nào không?

• Số hạng thứ nhất là \( \frac{1}{2 \cdot 5} \)
• Số hạng thứ hai là \( \frac{1}{3 \cdot 6} \)
• Số hạng thứ ba là \( \frac{1}{4 \cdot 7} \)

Ta nhận thấy mỗi số hạng có dạng \( \frac{1}{n \cdot (n+3)} \). Ví dụ:

• Với \( n=2 \), ta có \( \frac{1}{2 \cdot (2+3)} = \frac{1}{2 \cdot 5} \)
• Với \( n=3 \), ta có \( \frac{1}{3 \cdot (3+3)} = \frac{1}{3 \cdot 6} \)

Đến số hạng cuối cùng là \( \frac{1}{102 \cdot 105} \), thì \( n=102 \). Vậy tổng S có thể viết lại là:

\( S = \sum_{n=2}^{102} \frac{1}{n \cdot (n+3)} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng một kỹ thuật biến đổi phân số thường dùng trong các bài toán chuỗi. Đó là biến đổi một phân số có dạng \( \frac{1}{A \cdot B} \) thành hiệu của hai phân số. Cụ thể, ta có:

\( \frac{1}{n \cdot (n+3)} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+3} \right) \)

(Các em có thể kiểm tra lại bằng cách quy đồng vế phải: \( \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{(n+3) – n}{n(n+3)} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{n(n+3)} = \frac{1}{n(n+3)} \). Chính xác rồi nhé!)

Bước 2: Viết lại tổng S dưới dạng các hiệu

Áp dụng công thức trên cho từng số hạng trong tổng S:

\( \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{5} \right) \)

\( \frac{1}{3 \cdot 6} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{6} \right) \)

\( \frac{1}{4 \cdot 7} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{4} – \frac{1}{7} \right) \)

\( \frac{1}{5 \cdot 8} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{5} – \frac{1}{8} \right) \)

… (và cứ thế tiếp tục cho đến các số hạng cuối)

\( \frac{1}{101 \cdot 104} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{101} – \frac{1}{104} \right) \)

\( \frac{1}{102 \cdot 105} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{102} – \frac{1}{105} \right) \)

Bây giờ, chúng ta sẽ gom tất cả lại trong tổng S. Vì tất cả các số hạng đều có thừa số \( \frac{1}{3} \), ta có thể đặt \( \frac{1}{3} \) ra ngoài làm thừa số chung:

\( S = \frac{1}{3} \cdot \left[ \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{4} – \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{5} – \frac{1}{8} \right) + \dots + \left( \frac{1}{101} – \frac{1}{104} \right) + \left( \frac{1}{102} – \frac{1}{105} \right) \right] \)

Bước 3: Rút gọn (khử) các số hạng

Đây là phần thú vị nhất! Các em hãy quan sát kỹ các số hạng trong ngoặc vuông. Chúng ta sẽ thấy rất nhiều số hạng bị triệt tiêu lẫn nhau (còn gọi là tổng “telescoping” hay tổng “rút gọn”).

Hãy viết lại một phần của tổng để thấy rõ hơn sự triệt tiêu:

\( S = \frac{1}{3} \cdot \left[ \right. \)

\( \quad \quad \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{5} \right) \)

\( \quad \quad + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{6} \right) \)

\( \quad \quad + \left( \frac{1}{4} – \frac{1}{7} \right) \)

\( \quad \quad + \left( \frac{1}{5} – \frac{1}{8} \right) \quad \text{(Số hạng } \frac{1}{5} \text{ này sẽ triệt tiêu với } -\frac{1}{5} \text{ ở số hạng đầu tiên)} \)

\( \quad \quad + \left( \frac{1}{6} – \frac{1}{9} \right) \quad \text{(Số hạng } \frac{1}{6} \text{ này sẽ triệt tiêu với } -\frac{1}{6} \text{ ở số hạng thứ hai)} \)

\( \quad \quad + \left( \frac{1}{7} – \frac{1}{10} \right) \quad \text{(Số hạng } \frac{1}{7} \text{ này sẽ triệt tiêu với } -\frac{1}{7} \text{ ở số hạng thứ ba)} \)

\( \quad \quad + \dots \)

\( \quad \quad + \left( \frac{1}{100} – \frac{1}{103} \right) \)

\( \quad \quad + \left( \frac{1}{101} – \frac{1}{104} \right) \quad \text{(Số hạng } \frac{1}{101} \text{ này sẽ triệt tiêu với } -\frac{1}{101} \text{ ở số hạng phía trước)} \)

\( \quad \quad + \left( \frac{1}{102} – \frac{1}{105} \right) \quad \text{(Số hạng } \frac{1}{102} \text{ này sẽ triệt tiêu với } -\frac{1}{102} \text{ ở số hạng phía trước)} \)

\( \left. \quad \quad \right] \)

Các số hạng sẽ bị triệt tiêu theo cặp, ví dụ \( -\frac{1}{5} \) bị triệt tiêu bởi \( +\frac{1}{5} \), \( -\frac{1}{6} \) bởi \( +\frac{1}{6} \), v.v. Chỉ còn lại các số hạng ở đầu và ở cuối không bị triệt tiêu.

Các số hạng dương còn lại là: \( \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} \). (Vì không có \( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{4} \) nào trong tổng để triệt tiêu chúng)

Các số hạng âm còn lại là: \( -\frac{1}{103}, -\frac{1}{104}, -\frac{1}{105} \). (Vì không có \( +\frac{1}{103}, +\frac{1}{104}, +\frac{1}{105} \) nào trong tổng để triệt tiêu chúng)

Vậy, tổng S sau khi rút gọn sẽ là:

\( S = \frac{1}{3} \cdot \left[ \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) – \left( \frac{1}{103} + \frac{1}{104} + \frac{1}{105} \right) \right] \)

Bước 4: Tính toán giá trị còn lại

Chúng ta tính tổng của các phân số trong từng dấu ngoặc:

Tính phần đầu:

\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{6+4+3}{12} = \frac{13}{12} \)

Tính phần cuối:

\( \frac{1}{103} + \frac{1}{104} + \frac{1}{105} \)

Để cộng ba phân số này, ta cần tìm mẫu số chung nhỏ nhất của \( 103, 104, 105 \).

\( 103 \) là số nguyên tố.
\( 104 = 8 \cdot 13 = 2^3 \cdot 13 \)
\( 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \)
Vậy, mẫu số chung nhỏ nhất là \( 103 \cdot 104 \cdot 105 \).
\( 103 \cdot 104 \cdot 105 = 103 \cdot 10920 = 1124760 \)

Tử số sẽ là:

\( 1 \cdot (104 \cdot 105) + 1 \cdot (103 \cdot 105) + 1 \cdot (103 \cdot 104) \)

\( = 10920 + 10815 + 10712 \)

\( = 32447 \)

Vậy, \( \frac{1}{103} + \frac{1}{104} + \frac{1}{105} = \frac{32447}{1124760} \)

Bây giờ chúng ta thay các giá trị này vào biểu thức của S:

\( S = \frac{1}{3} \cdot \left[ \frac{13}{12} – \frac{32447}{1124760} \right] \)

Tiếp tục quy đồng và trừ hai phân số trong ngoặc vuông. Mẫu số chung của \( 12 \) và \( 1124760 \) là \( 1124760 \).
Ta có \( 1124760 \div 12 = 93730 \).

\( S = \frac{1}{3} \cdot \left[ \frac{13 \cdot 93730}{12 \cdot 93730} – \frac{32447}{1124760} \right] \)

\( S = \frac{1}{3} \cdot \left[ \frac{1218490}{1124760} – \frac{32447}{1124760} \right] \)

\( S = \frac{1}{3} \cdot \left[ \frac{1218490 – 32447}{1124760} \right] \)

\( S = \frac{1}{3} \cdot \left[ \frac{1186043}{1124760} \right] \)

\( S = \frac{1186043}{3 \cdot 1124760} \)

\( S = \frac{1186043}{3374280} \)

Kết luận:

Vậy, tổng của chuỗi số đã cho là:

\( \mathbf{S = \frac{1186043}{3374280}} \)

Thầy/cô hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Kỹ thuật phân tích số hạng thành hiệu và nhận diện sự triệt tiêu là rất quan trọng nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại.

Chúc các em học tốt!