sabcd đáy hbh m thuộc sd sd=3sm a tìm giao điểm MB giao (SAC) b N…

Chào em, một câu hỏi hình học không gian lớp 11 rất hay và cổ điển để luyện tư duy tưởng tượng không gian. Thầy sẽ hướng dẫn em giải chi tiết từng ý một nhé.

PHẦN A: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG MB VÀ MẶT PHẲNG (SAC)

Để tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa nó, phương pháp chung là tìm một mặt phẳng phụ chứa đường thẳng đó, sao cho mặt phẳng phụ này cắt mặt phẳng (SAC) theo một giao tuyến dễ xác định. Giao điểm cần tìm chính là giao của đường thẳng ban đầu và đường tuyến này.

• Bước 1: Chọn mặt phẳng phụ. Ta chọn mặt phẳng (SBD) vì đường thẳng MB nằm hoàn toàn trong mặt phẳng này.
• Bước 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ và (SAC).
  • Ta thấy điểm S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SBD) và (SAC).
  • Trong mặt phẳng đáy (ABCD), gọi O là tâm của hình bình hành ABCD (O là giao điểm của AC và BD). Khi đó, O thuộc đường thẳng AC (nằm trong mặt phẳng (SAC)) và O thuộc đường thẳng BD (nằm trong mặt phẳng (SBD)). Suy ra O là điểm chung thứ hai.
  • Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) chính là đường thẳng SO.
• Bước 3: Xác định giao điểm. Trong mặt phẳng (SBD), gọi I là giao điểm của đường thẳng MB và đường thẳng SO.
• Kết luận: Vì I thuộc SO mà SO nằm trong mặt phẳng (SAC) nên I thuộc mặt phẳng (SAC). Do đó, I chính là giao điểm của đường thẳng MB và mặt phẳng (SAC).

PHẦN B: TÌM THIẾT DIỆN CẮT BỞI MẶT PHẲNG (MNG)

Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNG) là đa giác tạo bởi các giao tuyến của (MNG) với các mặt của hình chóp. Ta sẽ đi tìm từng đoạn giao tuyến một.

• Tìm điểm chung và giao tuyến đầu tiên:
  • Mặt phẳng (MNG) chứa điểm M và điểm N. Điểm M thuộc cạnh SD, điểm N thuộc cạnh BC.
  • Trong mặt phẳng (SAD), kéo dài đoạn thẳng AM cắt đoạn thẳng SA tại một điểm phụ, hoặc ta xét giao tuyến với mặt đáy trước cho dễ nhìn.
• Dựng giao tuyến qua N:
  • G là trọng tâm của tam giác SAB. G nằm trong mặt phẳng (SAB).
  • Ta cần tìm giao điểm của mặt phẳng (MNG) với các mặt bên của hình chóp.
  • Trong mặt phẳng (SBC), nối N với G và kéo dài cắt cạnh SC tại một điểm, gọi điểm đó là E. Vậy đoạn NE nằm trong mặt phẳng (SBC) chính là một cạnh của thiết diện.
• Mở rộng giao tuyến:
  • Xét trên mặt phẳng (SCD), ta đã có điểm M (trên cạnh SD) và điểm E (trên cạnh SC). Nối M với E ta được đoạn thẳng ME nằm trong mặt phẳng (SCD). Đoạn ME này chính là cạnh thứ hai của thiết diện.
• Tìm giao tuyến với mặt đáy (ABCD):
  • Ta có N thuộc cạnh BC của đáy. Để tìm giao tuyến với đáy, ta có thể dựa vào tính chất hình bình hành của đáy ABCD (AD song song với BC).
  • Từ điểm M trên SD, kết hợp với điểm N trên BC, ta dựng đường thẳng đi qua M song song với AD và BC (vì các mặt đối diện của hình chóp cụt hoặc qua phép chiếu song song) để cắt cạnh SA hoặc AB.
  • Chính xác hơn, trong mặt phẳng (SAD), từ điểm M ta vẽ đường thẳng song song với đáy cắt cạnh SA tại một điểm F. Đoạn MF là cạnh của thiết diện.
• Kết luận thiết diện:
  • Sau khi tìm các giao tuyến của mặt phẳng (MNG) với các mặt của hình chóp, ta thu được các đoạn thẳng nối các giao điểm trên các cạnh.
  • Thiết diện cần tìm là một đa giác (thường là một ngũ giác hoặc tứ giác tùy thuộc vào vị trí cắt, cụ thể ở đây là một đa giác khép kín đi qua các điểm M, N, E và các điểm trên cạnh bên).
  • Em hãy tô đậm các đoạn thẳng giao tuyến trên hình vẽ để hoàn thành bài toán nhé.

Chúc em học tốt và luôn giữ vững tinh thần yêu thích môn Toán không gian!