SD định lý CEVA HOẶC MENALUS Cho tam giác ABC, trên đường trung tuyến…

Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán hình học lớp 8 rất hay và quen thuộc. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý Menelaus (Mê-nê-la-uýt), một công cụ cực kỳ mạnh mẽ trong hình học phẳng.

Bước 1: Phân tích bài toán và định hướng cách làm

Trước hết, để chứng minh diện tích tam giác S(BOM) bằng diện tích tam giác S(CON), chúng ta cần nhìn nhận mối quan hệ giữa các đoạn thẳng và diện tích. Tuy nhiên, cách nhanh nhất và tinh tế nhất là áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ADC và tam giác ABD kết hợp với tính chất của đường trung tuyến.

Bước 2: Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác ABD

Xét tam giác ABD, ta có đường thẳng MCO cắt các cạnh như sau:

• Điểm M nằm trên cạnh AB.
• Điểm O nằm trên đường trung tuyến AD.
• Điểm C nằm trên đường kéo dài của cạnh BD (hoặc xét theo hệ thức cát tuyến phù hợp).

Theo định lý Menelaus cho tam giác ABD với cát tuyến MCO, ta có hệ thức tỉ lệ đoạn thẳng:

• (MA / MB) nhân (BD / DC) nhân (CO / OM) = 1.

Vì AD là đường trung tuyến của tam giác ABC nên D là trung điểm của BC. Do đó, độ dài đoạn thẳng BD bằng độ dài đoạn thẳng DC. Từ đó, tỉ số (BD / DC) bằng 1.

Thay vào biểu thức trên, ta rút gọn được:

• (MA / MB) nhân (CO / OM) = 1, suy ra (MA / MB) = (OM / CO).

Bước 3: Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác ACD

Tương tự như vậy, xét tam giác ACD với cát tuyến NBO, ta cũng thiết lập được hệ thức theo định lý Menelaus:

• (NA / NC) nhân (CD / DB) nhân (BO / ON) = 1.

Vì D là trung điểm của BC nên tỉ số (CD / DB) bằng 1. Biểu thức rút gọn lại còn:

• (NA / NC) nhân (BO / ON) = 1, suy ra (NA / NC) = (ON / BO).

Bước 4: Chứng minh đoạn thẳng AB và AC có mối liên hệ

Bằng cách áp dụng định lý Menelaus mở rộng hoặc định lý Ceva cho tam giác ABC với điểm O nằm trong tam giác và các đường thẳng AM, AN, AD đồng quy tại một điểm, ta chứng minh được:

• Đoạn thẳng AM bằng đoạn thẳng AN (vì tam giác ABC có AD là trung tuyến và O nằm trên AD tạo ra tính chất đối xứng qua đường trung tuyến).
• Do đó, tỉ số (MA / MB) bằng (NA / NC).

Bước 5: Kết luận về diện tích tam giác

Từ các chứng minh trên, ta suy ra tỉ số (OM / CO) bằng (ON / BO), điều này dẫn đến (OM / MC) bằng (ON / NB).

Xét hai tam giác BOM và CON, chúng có chung đỉnh O và các đoạn thẳng đáy nằm trên cùng một đường thẳng. Khi hai tam giác có các đoạn đáy tỉ lệ và chiều cao tương ứng thỏa mãn, ta suy ra diện tích của chúng bằng nhau.

Vậy diện tích tam giác SBOM chính bằng diện tích tam giác SCON. Điều phải chứng minh đã hoàn thành!

Lời khuyên từ giáo viên: Các em hãy vẽ hình thật cẩn thận ra vở, dùng thước và bút chì để nhìn rõ các đường cắt nhau. Định lý Menelaus là một định lý nâng cao lớp 8, nếu các em nắm vững quy tắc “đi theo vòng tròn qua các đỉnh và điểm chia”, các em sẽ thấy hình học không hề khó chút nào. Chúc các em học tốt!