sin ( a+3pi / 2 ) + cos ( a + 3pi / 2) =căn 2 . tính sin( a+ pi)…
Chào em, đây là một bài toán lượng giác lớp 11 rất hay, kết hợp giữa việc sử dụng các công thức cung liên kết và các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản. Thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết từng bước nhé.
Bước 1: Rút gọn phương trình giả thiết
Đầu tiên, chúng ta xét biểu thức đầu bài cho và áp dụng công thức cung liên kết để đơn giản hóa nó. Cụ thể là cung hơn kém ba pi phần hai (3pi/2).
- Ta có công thức lượng giác cơ bản: sin(x + 3pi/2) = -cos(x)
- Và công thức: cos(x + 3pi/2) = sin(x)
Áp dụng vào giả thiết của bài toán với x là a, ta thu được phương trình mới:
-cos(a) + sin(a) = căn 2
Hay ta có thể viết lại theo thứ tự cho dễ nhìn là: sin(a) – cos(a) = căn 2
Bước 2: Tìm giá trị của sin(a) và cos(a)
Để tìm giá trị cụ thể của sin(a) và cos(a), thầy trò mình sẽ bình phương hai vế của phương trình vừa rút gọn ở Bước 1 lên nhé:
- (sin(a) – cos(a))^2 = (căn 2)^2
- Khai triển hàng đẳng thức bên trái, ta được: (sin(a))^2 – 2 * sin(a) * cos(a) + (cos(a))^2 = 2
- Vì (sin(a))^2 + (cos(a))^2 = 1 (đây là hằng đẳng thức lượng giác cơ bản), ta thay vào phương trình:
- 1 – 2 * sin(a) * cos(a) = 2
- -2 * sin(a) * cos(a) = 2 – 1
- -2 * sin(a) * cos(a) = 1
- Suy ra tích: sin(a) * cos(a) = -1/2
Bây giờ, chúng ta quay lại phương trình ban đầu sau khi rút gọn ở Bước 1: sin(a) – cos(a) = căn 2. Bình phương tổng bình phương lên ta thấy:
Biểu thức sin(a) – cos(a) = căn 2 chỉ xảy ra khi sin(a) nhận giá trị dương lớn nhất có thể và cos(a) nhận giá trị âm nhỏ nhất tương ứng. Cụ thể, giải hệ phương trình ta tìm được:
- sin(a) = căn 2 / 2
- cos(a) = -căn 2 / 2
Bước 3: Rút gọn biểu thức cần tính giá trị
Bây giờ, chúng ta tiếp tục sử dụng công thức cung liên kết để thu gọn biểu thức cần tính là sin(a + pi) trừ đi 2 nhân cos(a – pi).
- Xét số hạng thứ nhất: sin(a + pi). Theo công thức cung hơn kém pi, ta có: sin(a + pi) = -sin(a).
- Xét số hạng thứ hai: cos(a – pi). Ta biết rằng hàm cos là hàm chẵn, nên cos(a – pi) = cos(-(pi – a)) = cos(pi – a). Lại áp dụng công thức cung bù, ta có cos(pi – a) = -cos(a). Do đó: -2 * cos(a – pi) = -2 * (-cos(a)) = 2 * cos(a).
Vậy biểu thức cần tính sau khi rút gọn sẽ là: -sin(a) + 2 * cos(a)
Bước 4: Thay số và kết luận kết quả cuối cùng
Cuối cùng, chúng ta thay các giá trị của sin(a) và cos(a) mà chúng ta đã tìm được ở Bước 2 vào biểu thức đã rút gọn ở Bước 3:
- Biểu thức cần tính = -(căn 2 / 2) + 2 * (-căn 2 / 2)
- Thực hiện phép tính: – (căn 2 / 2) – căn 2
- Quy đồng mẫu số, ta có: – (căn 2 / 2) – (2 * căn 2 / 2) = – 3 * căn 2 / 2
Đáp số của bài toán là: trừ ba nhân căn hai tất cả chia cho hai.
Hy vọng qua lời giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách sử dụng các công thức cung liên kết và kỹ thuật bình phương hai vế trong các bài toán lượng giác nhé. Chúc các em học tốt!
\(sin(a + (3pi)/2) + cos(a + (3pi)/2)=sqrt(2)\)
\(-cos a + sin a = sqrt 2\)
\(sin a – cos a = sqrt 2\)
\( sqrt 2 * sin(a – pi/4)=sqrt(2)\)
\(sin(a – pi/4) = 1\)
\(a – pi/4 = pi/2 + k 2pi\)
\(a = (3pi)/4 + k 2pi\)
Suy ra:
\(@ sin a = sin((3pi)/4) = sqrt 2 / 2\)
\(@ cos a = cos((3pi)/4) = -sqrt 2 / 2\)
\(sin(a + pi) – 2cos(a – pi)\)
\(=-sin a – 2(-cos a)\)
\(=-sin a + 2cos a\)
\(=-(sqrt 2 / 2) + 2 * (-sqrt 2 / 2)\)
\(=-(3 sqrt 2)/ 2\)
Áp dụng công thức cộng:
\(sin(a + (3pi) / 2) = sin a * cos\ (3pi) / 2 + cos a * sin\ (3pi) / 2= -cos a\)
\(cos(a + (3pi )/ 2) = cos a * cos\ (3pi )/ 2 – sin a * sin\ (3pi) / 2= sin a\)
Từ giả thiết:
\(-cos a + sin a = sqrt{2}\)
\(sin a – cos a = sqrt{2}\)
Suy ra:
\((sin a – cos a)^2 = 2\)
\(sin^2 a – 2 sin a cos a + cos^2 a = 2\)
\(1 – 2 sin a cos a = 2\)
\(sin a cos a = -1 / 2\)
Mặt khác:
\((sin a + cos a)^2 = sin^2 a + 2 sin a cos a + cos^2 a\)
\(= 1 + 2 * (-1 / 2)\)
\(= 0\)
Do đó:
\(sin a + cos a = 0\)
\(cos a = -sin a\)
Thay vào đẳng thức \(sin a – cos a = sqrt{2}:\)
\(sin a – (-sin a) = sqrt{2}\)
\(2 sin a = sqrt{2}\)
\(sin a = sqrt{2} / 2\)
\(cos a = -sqrt{2} / 2\)
Ta có:
\(sin(a + pi) = sin a * cos pi + cos a * sin pi = -sin a\)
\(cos(a – pi) = cos a * cos pi + sin a * sin pi = -cos a\)
Suy ra:
\(sin(a + pi) – 2 cos(a – pi)\)
\(= -sin a – 2(-cos a)\)
\(= -sin a + 2 cos a\)
\(= (-sqrt{2}) / 2 + 2 * (-sqrt{2}) / 2\)
\(= -sqrt{2} / 2 – sqrt{2}\)
\(= -(3 sqrt{2}) / 2\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment