Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán so sánh các lũy thừa. Đây là một dạng bài rất hay, giúp các em củng cố kiến thức về phép tính lũy thừa nhé.

Đề bài yêu cầu chúng ta so sánh hai biểu thức sau:

\(2^{30} + 3^{30} + 4^{30}\) và \(3 \cdot 24^{10}\)

Để so sánh hai biểu thức này, chúng ta sẽ cố gắng biến đổi chúng về cùng một số mũ hoặc cùng một cơ số để dễ dàng so sánh hơn.

Bước 1: Biến đổi biểu thức thứ nhất

Biểu thức thứ nhất là \(2^{30} + 3^{30} + 4^{30}\).

Chúng ta thấy rằng các số mũ đều là 30. Chúng ta có thể biến đổi chúng về số mũ 10 để tiện so sánh với biểu thức thứ hai.

Áp dụng công thức \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), ta có:

\(2^{30} = 2^{3 \cdot 10} = (2^3)^{10} = 8^{10}\)

\(3^{30} = 3^{3 \cdot 10} = (3^3)^{10} = 27^{10}\)

\(4^{30} = 4^{3 \cdot 10} = (4^3)^{10} = 64^{10}\)

Vậy, biểu thức thứ nhất trở thành:
\(2^{30} + 3^{30} + 4^{30} = 8^{10} + 27^{10} + 64^{10}\)

Bước 2: Biến đổi biểu thức thứ hai

Biểu thức thứ hai là \(3 \cdot 24^{10}\).

Chúng ta sẽ phân tích số 24 thành các thừa số để dễ dàng tính toán hơn:

\(24 = 3 \cdot 8\)

Khi đó, biểu thức thứ hai sẽ là:

\(3 \cdot 24^{10} = 3 \cdot (3 \cdot 8)^{10}\)

Áp dụng công thức \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \), ta có:

\(3 \cdot (3 \cdot 8)^{10} = 3 \cdot 3^{10} \cdot 8^{10}\)

Tiếp tục áp dụng công thức \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), ta được:

\(3 \cdot 3^{10} \cdot 8^{10} = 3^{1+10} \cdot 8^{10} = 3^{11} \cdot 8^{10}\)

Vậy, biểu thức thứ hai trở thành:
\(3 \cdot 24^{10} = 3^{11} \cdot 8^{10}\)

Bước 3: So sánh hai biểu thức đã biến đổi

Bây giờ chúng ta cần so sánh:
\(8^{10} + 27^{10} + 64^{10}\) và \(3^{11} \cdot 8^{10}\)

Các em để ý rằng cả hai biểu thức đều có thừa số \(8^{10}\). Để việc so sánh đơn giản hơn, chúng ta có thể chia cả hai vế cho \(8^{10}\) (vì \(8^{10}\) là một số dương nên chiều của bất đẳng thức sẽ không thay đổi).

Ta so sánh:
\(\frac{8^{10} + 27^{10} + 64^{10}}{8^{10}}\) và \(\frac{3^{11} \cdot 8^{10}}{8^{10}}\)

Tương đương với việc so sánh:
\(\frac{8^{10}}{8^{10}} + \frac{27^{10}}{8^{10}} + \frac{64^{10}}{8^{10}}\) và \(3^{11}\)

Hay:
\(1 + \left(\frac{27}{8}\right)^{10} + \left(\frac{64}{8}\right)^{10}\) và \(3^{11}\)

Thực hiện các phép tính trong ngoặc:

\(\frac{27}{8} = 3.375\)

\(\frac{64}{8} = 8\)

Vậy ta cần so sánh:
\(1 + (3.375)^{10} + 8^{10}\) và \(3^{11}\)

Bây giờ chúng ta tính giá trị của \(3^{11}\):

\(3^{11} = 3 \cdot 3^{10} = 3 \cdot 59049 = 177147\)

Và chúng ta có \(8^{10}\) là một số rất lớn. Ví dụ, chúng ta biết \(8^2 = 64\), \(8^3 = 512\), \(8^4 = 4096\).
\(8^{10} = (2^3)^{10} = 2^{30}\).
Chúng ta cũng biết \(2^{10} = 1024\), vậy \(2^{30} = (2^{10})^3 = 1024^3\).
\(1024^3\) là một số rất lớn, lớn hơn \((1000)^3 = 1,000,000,000\) (một tỷ).

Rõ ràng, \(8^{10}\) đã lớn hơn rất nhiều so với \(177147\). Do đó, tổng \(1 + (3.375)^{10} + 8^{10}\) chắc chắn sẽ lớn hơn \(177147\).

Từ đó, ta kết luận:

\(1 + (3.375)^{10} + 8^{10} > 3^{11}\)

Kết luận:

Vậy, \(2^{30} + 3^{30} + 4^{30} > 3 \cdot 24^{10}\).

Các em thấy không, việc biến đổi lũy thừa rất quan trọng trong việc so sánh. Hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng bài này nhé! Chúc các em học tốt!