Bài toán: So sánh 2 phân số \(\frac{a-1}{a}\) và \(\frac{b+1}{b}\) với a, b là 2 số nguyên cùng dấu và khác 0.

Để so sánh hai phân số, chúng ta thường đưa chúng về cùng một mẫu số hoặc quy đồng tử số. Tuy nhiên, bài toán này có một đặc điểm là a và b là hai số nguyên cùng dấu. Chúng ta sẽ xét hai trường hợp.

Trường hợp 1: a và b là hai số nguyên dương.

Trong trường hợp này, a > 0 và b > 0.

Chúng ta có thể biến đổi hai phân số đã cho như sau:

\(\frac{a-1}{a} = \frac{a}{a} – \frac{1}{a} = 1 – \frac{1}{a}\)

\(\frac{b+1}{b} = \frac{b}{b} + \frac{1}{b} = 1 + \frac{1}{b}\)

Bây giờ, chúng ta cần so sánh \(1 – \frac{1}{a}\) và \(1 + \frac{1}{b}\).

Vì a và b là số nguyên dương, nên \(\frac{1}{a}\) và \(\frac{1}{b}\) đều là các số dương.

Do đó, 1 – \(\frac{1}{a}\) sẽ luôn nhỏ hơn 1.

Và 1 + \(\frac{1}{b}\) sẽ luôn lớn hơn 1.

Vậy, trong trường hợp a và b là số nguyên dương, ta luôn có: \(\frac{a-1}{a} < 1 < \frac{b+1}{b}\)

Suy ra: \(\frac{a-1}{a} < \frac{b+1}{b}\)

Trường hợp 2: a và b là hai số nguyên âm.

Trong trường hợp này, a < 0 và b < 0.

Chúng ta vẫn sử dụng cách biến đổi như trên:

\(\frac{a-1}{a} = 1 – \frac{1}{a}\)

\(\frac{b+1}{b} = 1 + \frac{1}{b}\)

Vì a và b là số nguyên âm, nên \(\frac{1}{a}\) và \(\frac{1}{b}\) đều là các số âm.

Khi \(\frac{1}{a}\) là số âm, -\(\frac{1}{a}\) sẽ là số dương. Do đó, 1 – \(\frac{1}{a}\) sẽ lớn hơn 1.

Khi \(\frac{1}{b}\) là số âm, 1 + \(\frac{1}{b}\) có thể lớn hơn, nhỏ hơn hoặc bằng 1, tùy thuộc vào giá trị của \(\frac{1}{b}\).

Để so sánh rõ hơn, chúng ta hãy xét hiệu của hai phân số:

\(\frac{b+1}{b} – \frac{a-1}{a} = (1 + \frac{1}{b}) – (1 – \frac{1}{a})\)

\(= 1 + \frac{1}{b} – 1 + \frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{a+b}{ab}\)

Vì a và b là hai số nguyên âm cùng dấu, nên:

a + b sẽ là một số âm (tổng của hai số âm là số âm).

ab sẽ là một số dương (tích của hai số âm là số dương).

Do đó, \(\frac{a+b}{ab}\) là một số âm chia cho một số dương, nên kết quả là một số âm.

\(\frac{a+b}{ab} < 0\)

Điều này có nghĩa là:

\(\frac{b+1}{b} – \frac{a-1}{a} < 0\)

Suy ra: \(\frac{b+1}{b} < \frac{a-1}{a}\)

Kết luận chung:

Dựa trên hai trường hợp trên, chúng ta có thể đưa ra kết luận:

Nếu a và b là hai số nguyên dương cùng dấu, thì \(\frac{a-1}{a} < \frac{b+1}{b}\).

Nếu a và b là hai số nguyên âm cùng dấu, thì \(\frac{b+1}{b} < \frac{a-1}{a}\).

Các em đã hiểu bài chưa nào? Nếu có thắc mắc gì, cứ hỏi thầy nhé!