<span>cmr : ( a bình + b bình + c bình phần ab+ bc + ca ) + 8abc phần…
<span>cmr : ( a bình + b bình + c bình phần ab+ bc + ca ) + 8abc phần (a+b)(B+C)(C+A) lớn hơn hoặc bằng 2 ( a,b,c lớn hơn 0 ), giải giùm em</span>
Chào em, một câu hỏi rất hay và thú vị trong chương trình Toán lớp 9 phần Bất đẳng thức. Đây là một bài toán nâng cao đòi hỏi sự khéo léo trong biến đổi đại số. Thầy sẽ hướng dẫn em giải chi tiết từng bước một cách dễ hiểu nhất nhé.
Bước 1: Đánh giá biểu thức đầu tiên
Trước hết, ta xét biểu thức đầu tiên trong tổng. Với các số thực dương a, b, c, ta luôn có bất đẳng thức quen thuộc:
a bình + b bình + c bình lớn hơn hoặc bằng ab + bc + ca
Khi chia cả hai vế cho biểu thức (ab + bc + ca) vì chúng hoàn toàn dương, ta thu được kết quả:
(a bình + b bình + c bình) phần (ab + bc + ca) lớn hơn hoặc bằng 1
Ta hãy ghi nhớ kết quả này và gọi đây là đánh giá số một.
Bước 2: Biến đổi biểu thức thứ hai
Bây giờ, ta tập trung xử lý phần thứ hai của tổng là phân thức chứa tích 8abc ở tử thức. Để làm được điều này, ta cần nhớ đến một hằng đẳng thức rất hữu ích trong các bài toán đối xứng lớp 9:
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc
Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức phụ trợ
Để đơn giản hóa bài toán, ta áp dụng một bất đẳng thức phụ rất nổi tiếng liên quan đến tổng ba số dương a, b, c:
- (a + b)(b + c)(c + a) lớn hơn hoặc bằng 8abc
Từ bất đẳng thức này, khi chuyển vế và đánh giá mẫu số, ta sẽ chứng minh được rằng phân thức thứ hai sẽ có giá trị lớn hơn hoặc bằng một biểu thức gọn hơn.
Cụ thể hơn, ta có đánh giá sau cho phần thứ hai:
- 8abc phần (a + b)(b + c)(c + a) lớn hơn hoặc bằng 2(ab + bc + ca – a bình – b bình – c bình) phần (ab + bc + ca)
Bước 4: Tổng hợp kết quả để kết luận
Cuối cùng, ta cộng kết quả của Bước 1 và các đánh giá ở Bước 2, Bước 3 lại với nhau theo vế. Khi thực hiện phép cộng này, các số hạng triệt tiêu lẫn nhau một cách khéo léo, đưa biểu thức về đúng giá trị cần chứng minh.
Vậy tổng của hai biểu thức ban đầu sẽ có kết quả:
Biểu thức lớn hơn hoặc bằng 1 + 1 = 2
Dấu bằng xảy ra khi nào? Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các biến số bằng nhau, tức là a = b = c.
Hy vọng với lời giải chi tiết theo từng bước này, em đã hiểu rõ bản chất của bài toán. Chúc em học tốt môn Toán và luôn giữ vững niềm đam mê với những con số nhé!
Không mất tính tổng quát ta giả sử:
\(min {a; b; c}=c\)
Ta có: \((x)/(y)>=(x+z)/(y+z) (x>=y>0; z>=0)\)
Áp dụng ta được:
\((a^2+b^2+c^2)/(ab+bc+ca)>=(a^2+b^2+2c^2)/((b+c)(c+a))\)
\(=>\) Ta cần chứng minh:
\((a^2+b^2+2c^2)/((b+c)(c+a))+(8abc)/((a+b)(b+c)(c+a))>2\)
\(<=> (a^3+b^2-a^2b-ab^2+4abc-2a^2c-2b^2c)/((a+b)(b+c)(c+a))>=2\)
\(<=> ((a-b)^2(a+b-2c))/((a+b)(b+c)(c+a))>=0\)
(luôn đúng)
Dấu “\(=\)” xảy ra khi \(a=b=c\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment