— LỜI GIẢI CHI TIẾT —

Bài 1: Giải phương trình: \(\sqrt{4x^2 – 4x + 1} = 3\)

Đây là một phương trình chứa căn bậc hai. Khi giải loại phương trình này, chúng ta cần nhớ một số kiến thức quan trọng:

• Điều kiện xác định của căn bậc hai: Biểu thức bên trong căn phải không âm.
• Tính chất: \(\sqrt{A^2} = |A|\).
• Khi \(\sqrt{A} = B\), thì chúng ta cần có điều kiện \(B \ge 0\) và \(A = B^2\).

Bây giờ chúng ta bắt đầu giải bài toán:

Phương trình đã cho là: \(\sqrt{4x^2 – 4x + 1} = 3\)

Bước 1: Phân tích biểu thức trong căn.
Chúng ta nhận thấy biểu thức trong căn, tức là \(4x^2 – 4x + 1\), có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ, đó là bình phương của một hiệu: \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).

Cụ thể, ta có thể viết \(4x^2 – 4x + 1\) như sau:
\(4x^2 – 4x + 1 = (2x)^2 – 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = (2x – 1)^2\)
Vậy, phương trình trở thành:
\(\sqrt{(2x – 1)^2} = 3\)

Bước 2: Áp dụng công thức \(\sqrt{A^2} = |A|\).
Sử dụng công thức này, chúng ta có:
\(|2x – 1| = 3\)

Bước 3: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Theo định nghĩa của giá trị tuyệt đối, nếu \(|A| = B\) (với \(B \ge 0\)), thì \(A = B\) hoặc \(A = -B\).

Ở đây, \(A = 2x – 1\) và \(B = 3\) (thỏa mãn \(B \ge 0\)). Vì vậy, chúng ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(2x – 1 = 3\)
Cộng 1 vào cả hai vế:
\(2x = 3 + 1\)
\(2x = 4\)
Chia cả hai vế cho 2:
\(x = \frac{4}{2}\)
\(x = 2\)

Trường hợp 2: \(2x – 1 = -3\)
Cộng 1 vào cả hai vế:
\(2x = -3 + 1\)
\(2x = -2\)
Chia cả hai vế cho 2:
\(x = \frac{-2}{2}\)
\(x = -1\)

Bước 4: Kiểm tra lại nghiệm (mặc dù với bài này, việc áp dụng \(\sqrt{A^2}=|A|\) đã đảm bảo nghiệm đúng, nhưng việc kiểm tra luôn là thói quen tốt).

• Với \(x = 2\):
  Thay vào phương trình ban đầu: \(\sqrt{4(2)^2 – 4(2) + 1} = \sqrt{4 \cdot 4 – 8 + 1} = \sqrt{16 – 8 + 1} = \sqrt{9} = 3\)
  Kết quả \(3 = 3\) là đúng, vậy \(x = 2\) là một nghiệm.
• Với \(x = -1\):
  Thay vào phương trình ban đầu: \(\sqrt{4(-1)^2 – 4(-1) + 1} = \sqrt{4 \cdot 1 + 4 + 1} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3\)
  Kết quả \(3 = 3\) là đúng, vậy \(x = -1\) là một nghiệm.

Kết luận:
Tập nghiệm của phương trình là \(\{-1; 2\}\).

—

Bài 2: Giải phương trình: \(\sqrt[3]{x + 7} – 3 = 1\)

Đây là một phương trình chứa căn bậc ba. Khi giải phương trình căn bậc ba, chúng ta có một số điểm khác so với căn bậc hai:

• Điều kiện xác định của căn bậc ba: Biểu thức bên trong căn bậc ba có thể là số âm, số 0, hoặc số dương. Do đó, với \(\sqrt[3]{x + 7}\), biểu thức \(x + 7\) luôn xác định với mọi giá trị của \(x\).
• Để khử căn bậc ba, chúng ta sẽ lập phương (mũ 3) cả hai vế của phương trình: \((\sqrt[3]{A})^3 = A\).

Bây giờ chúng ta bắt đầu giải bài toán:

Phương trình đã cho là: \(\sqrt[3]{x + 7} – 3 = 1\)

Bước 1: Cô lập (đưa về một vế) biểu thức chứa căn bậc ba.
Để làm điều này, chúng ta sẽ chuyển số hạng \(-3\) sang vế phải của phương trình:
\(\sqrt[3]{x + 7} = 1 + 3\)
\(\sqrt[3]{x + 7} = 4\)

Bước 2: Lập phương (mũ 3) cả hai vế của phương trình.
Để loại bỏ căn bậc ba, chúng ta nâng cả hai vế lên lũy thừa 3:
\((\sqrt[3]{x + 7})^3 = 4^3\)
\(x + 7 = 64\)

Bước 3: Giải phương trình bậc nhất tìm \(x\).
Chuyển số hạng \(7\) sang vế phải:
\(x = 64 – 7\)
\(x = 57\)

Bước 4: Kiểm tra lại nghiệm (luôn là một bước tốt để đảm bảo kết quả).
Với \(x = 57\):
Thay vào phương trình ban đầu: \(\sqrt[3]{57 + 7} – 3 = \sqrt[3]{64} – 3\)
Vì \(4^3 = 64\), nên \(\sqrt[3]{64} = 4\).
Vậy, \(\sqrt[3]{64} – 3 = 4 – 3 = 1\)
Kết quả \(1 = 1\) là đúng, vậy \(x = 57\) là nghiệm của phương trình.

Kết luận:
Nghiệm của phương trình là \(x = 57\).

Hy vọng phần giải thích chi tiết này sẽ giúp em hiểu rõ hơn về cách giải hai dạng phương trình này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé!