Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán phương trình chứa căn thức khá thú vị. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và tìm ra lời giải chi tiết nhé.

Bài toán của chúng ta là:

\[\sqrt{x – 2} + \sqrt{4 – x} = x^2 – 6x + 11\]

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Để các biểu thức dưới dấu căn có nghĩa, ta cần:

1. \(x – 2 \ge 0 \implies x \ge 2\)

2. \(4 – x \ge 0 \implies x \le 4\)

Kết hợp hai điều kiện trên, ta có điều kiện xác định của phương trình là \(2 \le x \le 4\).

Bước 2: Phân tích vế phải của phương trình.

Ta nhận thấy vế phải là một tam thức bậc hai: \(x^2 – 6x + 11\).

Chúng ta thử biến đổi nó về dạng bình phương của một biểu thức để xem có mối liên hệ gì với vế trái không.

Ta có thể viết lại: \(x^2 – 6x + 9 + 2 = (x – 3)^2 + 2\).

Vậy phương trình trở thành: \[\sqrt{x – 2} + \sqrt{4 – x} = (x – 3)^2 + 2\]

Bước 3: Đặt ẩn phụ và đánh giá hai vế.

Xét vế trái: \(A = \sqrt{x – 2} + \sqrt{4 – x}\).

Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc phương pháp đánh giá trực tiếp để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(A\) trong khoảng \(2 \le x \le 4\).

Phương pháp 1: Bình phương hai vế của A.

\(A^2 = (\sqrt{x – 2} + \sqrt{4 – x})^2\)

\(A^2 = (x – 2) + (4 – x) + 2\sqrt{(x – 2)(4 – x)}\)

\(A^2 = 2 + 2\sqrt{-x^2 + 6x – 8}\)

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(A^2\), ta cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức dưới căn: \(f(x) = -x^2 + 6x – 8\).

Đây là một parabol có bề lõm hướng xuống. Đỉnh của parabol có hoành độ là \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3\).

Giá trị lớn nhất của \(f(x)\) là \(f(3) = -(3)^2 + 6(3) – 8 = -9 + 18 – 8 = 1\).

Giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) trong khoảng \(2 \le x \le 4\) xảy ra ở hai đầu mút:

\(f(2) = -(2)^2 + 6(2) – 8 = -4 + 12 – 8 = 0\)

\(f(4) = -(4)^2 + 6(4) – 8 = -16 + 24 – 8 = 0\)

Vậy \(0 \le -x^2 + 6x – 8 \le 1\).

Suy ra: \(0 \le \sqrt{-x^2 + 6x – 8} \le 1\).

Do đó: \(2 \le A^2 \le 2 + 2(1) = 4\).

Vì \(A \ge 0\), ta có \( \sqrt{2} \le A \le 2\).

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt{x – 2} + \sqrt{4 – x}\) và đánh giá.

Ta đã biến đổi \(t^2 = 2 + 2\sqrt{-x^2 + 6x – 8}\). Đặt \(y = \sqrt{-x^2 + 6x – 8}\), ta có \(t^2 = 2 + 2y\).

Ta biết \(0 \le y \le 1\), nên \(2 \le t^2 \le 4\), suy ra \(\sqrt{2} \le t \le 2\).

Bây giờ ta xét vế phải: \(B = (x – 3)^2 + 2\).

Vì \(2 \le x \le 4\), ta có: \(2 – 3 \le x – 3 \le 4 – 3\), tức là \(-1 \le x – 3 \le 1\).

Bình phương hai vế: \(0 \le (x – 3)^2 \le 1\).

Do đó: \(0 + 2 \le (x – 3)^2 + 2 \le 1 + 2\), tức là \(2 \le B \le 3\).

Bước 4: So sánh giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hai vế.

Ta có: \( \sqrt{2} \le \sqrt{x – 2} + \sqrt{4 – x} \le 2\)

Và: \(2 \le (x – 3)^2 + 2 \le 3\)

Để phương trình có nghiệm, hai vế phải bằng nhau. Điều này chỉ xảy ra khi cả hai vế cùng đạt giá trị bằng 2.

Tức là: \(\sqrt{x – 2} + \sqrt{4 – x} = 2\) VÀ \((x – 3)^2 + 2 = 2\).

Xét điều kiện thứ hai: \((x – 3)^2 + 2 = 2 \implies (x – 3)^2 = 0 \implies x – 3 = 0 \implies x = 3\).

Bây giờ ta kiểm tra xem \(x = 3\) có thỏa mãn điều kiện thứ nhất \(\sqrt{x – 2} + \sqrt{4 – x} = 2\) hay không.

Thay \(x = 3\) vào vế trái: \(\sqrt{3 – 2} + \sqrt{4 – 3} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2\).

Vậy \(x = 3\) thỏa mãn cả hai điều kiện.

Bước 5: Kiểm tra lại với điều kiện xác định.

Ta thấy \(x = 3\) thỏa mãn điều kiện xác định \(2 \le x \le 4\).

Kết luận:

Nghiệm duy nhất của phương trình là \(x = 3\).

Các em thấy không, bằng cách phân tích kỹ lưỡng và đánh giá hai vế của phương trình, chúng ta có thể tìm ra nghiệm một cách gọn gàng. Bài toán này đã rèn luyện cho chúng ta kỹ năng tìm điều kiện xác định, biến đổi biểu thức, và sử dụng các phương pháp đánh giá để đưa về trường hợp đặc biệt.

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy nhé!