Chào các em học sinh lớp 9!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về các bộ ba số dương “tốt”. Đây là một bài toán thú vị, đòi hỏi sự quan sát tinh tế và khả năng biến đổi đại số. Hãy cùng thầy phân tích nhé!

Đề bài:
Ta gọi bộ ba số dương \( (a,b,c) \) là “tốt” nếu:
\( \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab} + \sqrt{b^2+\frac{1}{b^2a^2}+2bc} + \sqrt{c^2+\frac{1}{c^2b^2}+2ca} = 2(a+b+c) \)
Chứng minh rằng nếu \( (a,b,c) \) là “tốt” thì \( (c,b,a) \) cũng là “tốt”.

—

Phân tích bài toán:

Để chứng minh rằng nếu \( (a,b,c) \) là “tốt” thì \( (c,b,a) \) cũng là “tốt”, chúng ta cần hiểu rõ điều kiện để một bộ ba số dương được gọi là “tốt”. Hay nói cách khác, chúng ta cần tìm một điều kiện đơn giản hơn, tương đương với điều kiện “tốt” đã cho.

Quan sát vế trái của đẳng thức định nghĩa bộ ba “tốt”: Nó là tổng của ba căn thức. Vế phải là \( 2(a+b+c) \), mà ta có thể viết lại là \( (a+b) + (b+c) + (c+a) \).
Chúng ta thường gặp các bài toán mà biểu thức trong căn bậc hai có thể đưa về dạng bình phương hoàn chỉnh. Hãy xem xét từng số hạng dưới dấu căn:

Số hạng thứ nhất: \( \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab} \)
Số hạng thứ hai: \( \sqrt{b^2+\frac{1}{b^2a^2}+2bc} \)
Số hạng thứ ba: \( \sqrt{c^2+\frac{1}{c^2b^2}+2ca} \)

Nếu mỗi số hạng dưới dấu căn có thể được viết dưới dạng một bình phương của tổng hai số, ví dụ \( (X+Y)^2 = X^2+Y^2+2XY \), thì các căn thức sẽ rút gọn được. Cụ thể, nếu:
1) \( \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab} = a+b \)
2) \( \sqrt{b^2+\frac{1}{b^2a^2}+2bc} = b+c \)
3) \( \sqrt{c^2+\frac{1}{c^2b^2}+2ca} = c+a \)

Khi đó, tổng vế trái sẽ là \( (a+b) + (b+c) + (c+a) = 2(a+b+c) \), đúng bằng vế phải.

Bây giờ, chúng ta cần xem xét điều kiện để mỗi đẳng thức trên xảy ra. Vì \( a,b,c \) là các số dương, nên các biểu thức \( a+b, b+c, c+a \) đều dương. Ta có thể bình phương hai vế của các đẳng thức trên:

1) Từ \( \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab} = a+b \):
Bình phương hai vế: \( a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab = (a+b)^2 \)
\( a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab = a^2+2ab+b^2 \)
Rút gọn \( a^2+2ab \) ở cả hai vế, ta được:
\( \frac{1}{a^2c^2} = b^2 \)
Vì \( a,b,c \) là các số dương, ta lấy căn bậc hai hai vế:
\( \frac{1}{ac} = b \)
Hay tương đương với: \( abc = 1 \).

2) Tương tự, từ \( \sqrt{b^2+\frac{1}{b^2a^2}+2bc} = b+c \):
Bình phương hai vế và rút gọn, ta sẽ được \( \frac{1}{b^2a^2} = c^2 \). Vì \( a,b,c > 0 \), suy ra \( c = \frac{1}{ab} \), hay \( abc = 1 \).

3) Và từ \( \sqrt{c^2+\frac{1}{c^2b^2}+2ca} = c+a \):
Bình phương hai vế và rút gọn, ta sẽ được \( \frac{1}{c^2b^2} = a^2 \). Vì \( a,b,c > 0 \), suy ra \( a = \frac{1}{bc} \), hay \( abc = 1 \).

Từ phân tích trên, nếu cả ba đẳng thức 1), 2), 3) đồng thời xảy ra, thì điều kiện cần và đủ là \( abc=1 \). Nếu \( abc=1 \), thì các biểu thức trong căn chính là bình phương hoàn chỉnh, và tổng sẽ bằng \( 2(a+b+c) \).

Bây giờ, chúng ta cần chứng minh điều ngược lại một cách chặt chẽ hơn: nếu \( (a,b,c) \) là “tốt” (tức là đẳng thức đã cho đúng), thì liệu có phải \( abc=1 \) không?

Đặt \( A_1 = \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab} \), \( B_1 = a+b \).
Đặt \( A_2 = \sqrt{b^2+\frac{1}{b^2a^2}+2bc} \), \( B_2 = b+c \).
Đặt \( A_3 = \sqrt{c^2+\frac{1}{c^2b^2}+2ca} \), \( B_3 = c+a \).

Điều kiện “tốt” có thể viết là \( A_1+A_2+A_3 = B_1+B_2+B_3 \).

Xét hiệu \( A_1 – B_1 \). Ta có:
\( A_1^2 – B_1^2 = (a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab) – (a+b)^2 \)
\( = a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab – (a^2+2ab+b^2) \)
\( = \frac{1}{a^2c^2} – b^2 \)
Từ đó, \( A_1 – B_1 = \frac{A_1^2 – B_1^2}{A_1+B_1} = \frac{\frac{1}{a^2c^2} – b^2}{\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab} + (a+b)} \).

Tương tự, ta có:
\( A_2 – B_2 = \frac{\frac{1}{b^2a^2} – c^2}{\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2a^2}+2bc} + (b+c)} \)
\( A_3 – B_3 = \frac{\frac{1}{c^2b^2} – a^2}{\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2b^2}+2ca} + (c+a)} \)

Điều kiện “tốt” là \( (A_1-B_1) + (A_2-B_2) + (A_3-B_3) = 0 \).

Lưu ý rằng, các mẫu số \( \sqrt{…} + (…) \) đều là các số dương (vì \( a,b,c > 0 \)). Do đó, dấu của mỗi hiệu \( A_i – B_i \) phụ thuộc vào dấu của tử số tương ứng.

• Nếu \( \frac{1}{a^2c^2} – b^2 > 0 \), thì \( A_1 – B_1 > 0 \).
• Nếu \( \frac{1}{a^2c^2} – b^2 < 0 \), thì \( A_1 - B_1 < 0 \).
• Nếu \( \frac{1}{a^2c^2} – b^2 = 0 \), thì \( A_1 – B_1 = 0 \).

Nếu cả ba tử số đều dương (ví dụ, \( \frac{1}{a^2c^2} > b^2 \), \( \frac{1}{b^2a^2} > c^2 \), \( \frac{1}{c^2b^2} > a^2 \)), thì tổng \( (A_1-B_1) + (A_2-B_2) + (A_3-B_3) \) sẽ dương, mâu thuẫn với việc tổng bằng 0.
Tương tự, nếu cả ba tử số đều âm, thì tổng sẽ âm, cũng mâu thuẫn.
Do đó, điều kiện duy nhất để tổng bằng 0 là tất cả các tử số phải bằng 0:

\( \frac{1}{a^2c^2} – b^2 = 0 \implies b^2 = \frac{1}{a^2c^2} \)
\( \frac{1}{b^2a^2} – c^2 = 0 \implies c^2 = \frac{1}{b^2a^2} \)
\( \frac{1}{c^2b^2} – a^2 = 0 \implies a^2 = \frac{1}{c^2b^2} \)

Vì \( a,b,c \) là các số dương, từ các đẳng thức trên, ta có:
\( b = \frac{1}{ac} \implies abc = 1 \)
\( c = \frac{1}{ab} \implies abc = 1 \)
\( a = \frac{1}{bc} \implies abc = 1 \)

Như vậy, điều kiện để bộ ba \( (a,b,c) \) là “tốt” là tương đương với \( abc = 1 \).

—

Trình bày lời giải:

Gọi điều kiện để bộ ba số dương \( (a,b,c) \) là “tốt” là \( (*) \):

\( (*) \quad \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab} + \sqrt{b^2+\frac{1}{b^2a^2}+2bc} + \sqrt{c^2+\frac{1}{c^2b^2}+2ca} = 2(a+b+c) \)

Ta sẽ chứng minh rằng điều kiện \( (*) \) tương đương với \( abc=1 \).

Bước 1: Chứng minh nếu \( abc=1 \) thì \( (a,b,c) \) là “tốt”.
Nếu \( abc=1 \), vì \( a,b,c \) là các số dương, ta có các mối quan hệ:
\( b = \frac{1}{ac} \implies b^2 = \frac{1}{a^2c^2} \)
\( c = \frac{1}{ab} \implies c^2 = \frac{1}{b^2a^2} \)
\( a = \frac{1}{bc} \implies a^2 = \frac{1}{c^2b^2} \)

Thay các mối quan hệ này vào các số hạng trong điều kiện \( (*) \):
Số hạng thứ nhất: \( \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab} = \sqrt{a^2+b^2+2ab} = \sqrt{(a+b)^2} \).
Vì \( a,b > 0 \), nên \( \sqrt{(a+b)^2} = a+b \).

Số hạng thứ hai: \( \sqrt{b^2+\frac{1}{b^2a^2}+2bc} = \sqrt{b^2+c^2+2bc} = \sqrt{(b+c)^2} \).
Vì \( b,c > 0 \), nên \( \sqrt{(b+c)^2} = b+c \).

Số hạng thứ ba: \( \sqrt{c^2+\frac{1}{c^2b^2}+2ca} = \sqrt{c^2+a^2+2ca} = \sqrt{(c+a)^2} \).
Vì \( c,a > 0 \), nên \( \sqrt{(c+a)^2} = c+a \).

Khi đó, vế trái của điều kiện \( (*) \) trở thành:
\( (a+b) + (b+c) + (c+a) = 2a+2b+2c = 2(a+b+c) \).
Đây chính là vế phải của điều kiện \( (*) \). Vậy, nếu \( abc=1 \) thì \( (a,b,c) \) là “tốt”.

Bước 2: Chứng minh nếu \( (a,b,c) \) là “tốt” thì \( abc=1 \).
Giả sử bộ ba \( (a,b,c) \) là “tốt”, tức là đẳng thức \( (*) \) đúng.

Đặt \( X_1 = \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab} \), \( Y_1 = a+b \).
Đặt \( X_2 = \sqrt{b^2+\frac{1}{b^2a^2}+2bc} \), \( Y_2 = b+c \).
Đặt \( X_3 = \sqrt{c^2+\frac{1}{c^2b^2}+2ca} \), \( Y_3 = c+a \).

Điều kiện \( (*) \) trở thành \( X_1+X_2+X_3 = Y_1+Y_2+Y_3 \).

Ta xét hiệu \( X_i – Y_i \). Ví dụ với \( X_1 – Y_1 \):
\( X_1 – Y_1 = \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab} – (a+b) \).
Nhân liên hợp, ta có:
\( X_1 – Y_1 = \frac{(\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab})^2 – (a+b)^2}{\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab} + (a+b)} \)
\( = \frac{(a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab) – (a^2+2ab+b^2)}{\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab} + (a+b)} \)
\( = \frac{\frac{1}{a^2c^2} – b^2}{\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab} + (a+b)} \)

Tương tự, ta có:
\( X_2 – Y_2 = \frac{\frac{1}{b^2a^2} – c^2}{\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2a^2}+2bc} + (b+c)} \)
\( X_3 – Y_3 = \frac{\frac{1}{c^2b^2} – a^2}{\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2b^2}+2ca} + (c+a)} \)

Điều kiện \( (*) \) tương đương với \( (X_1-Y_1) + (X_2-Y_2) + (X_3-Y_3) = 0 \).

Vì \( a,b,c \) là các số dương, nên các mẫu số \( \sqrt{…} + (…) \) đều là các số dương. Do đó, dấu của mỗi hiệu \( X_i – Y_i \) phụ thuộc hoàn toàn vào dấu của tử số tương ứng.

• Nếu \( \frac{1}{a^2c^2} – b^2 > 0 \), thì \( X_1 – Y_1 > 0 \).
• Nếu \( \frac{1}{a^2c^2} – b^2 < 0 \), thì \( X_1 - Y_1 < 0 \).
• Nếu \( \frac{1}{a^2c^2} – b^2 = 0 \), thì \( X_1 – Y_1 = 0 \).

Nếu có ít nhất một tử số dương (ví dụ, \( \frac{1}{a^2c^2} – b^2 > 0 \)) và các tử số còn lại không âm, thì tổng \( (X_1-Y_1) + (X_2-Y_2) + (X_3-Y_3) \) sẽ lớn hơn 0, mâu thuẫn với điều kiện tổng bằng 0.
Tương tự, nếu có ít nhất một tử số âm và các tử số còn lại không dương, thì tổng sẽ nhỏ hơn 0, cũng mâu thuẫn.
Do đó, cách duy nhất để tổng \( (X_1-Y_1) + (X_2-Y_2) + (X_3-Y_3) \) bằng 0 là tất cả các tử số phải bằng 0:

\( \frac{1}{a^2c^2} – b^2 = 0 \implies b^2 = \frac{1}{a^2c^2} \)
\( \frac{1}{b^2a^2} – c^2 = 0 \implies c^2 = \frac{1}{b^2a^2} \)
\( \frac{1}{c^2b^2} – a^2 = 0 \implies a^2 = \frac{1}{c^2b^2} \)

Vì \( a,b,c \) là các số dương, từ các đẳng thức này, ta suy ra:
\( b = \frac{1}{ac} \implies abc = 1 \)
\( c = \frac{1}{ab} \implies abc = 1 \)
\( a = \frac{1}{bc} \implies abc = 1 \)

Vậy, điều kiện để bộ ba \( (a,b,c) \) là “tốt” chính là \( abc=1 \).

Bước 3: Chứng minh rằng nếu \( (a,b,c) \) là “tốt” thì \( (c,b,a) \) cũng là “tốt”.
Giả sử bộ ba \( (a,b,c) \) là “tốt”. Theo chứng minh ở Bước 1 và Bước 2, điều này có nghĩa là \( abc=1 \).

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem bộ ba \( (c,b,a) \) có “tốt” hay không. Để \( (c,b,a) \) là “tốt”, điều kiện cần và đủ là tích của ba số hạng của nó phải bằng 1.
Tức là, ta cần kiểm tra xem \( c \cdot b \cdot a = 1 \) hay không.

Vì phép nhân các số thực có tính chất giao hoán, nên \( c \cdot b \cdot a = abc \).
Và vì \( (a,b,c) \) là “tốt” nên \( abc=1 \).

Do đó, \( c \cdot b \cdot a = 1 \).

Điều này có nghĩa là bộ ba \( (c,b,a) \) thỏa mãn điều kiện để là “tốt”.

Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh được rằng điều kiện để bộ ba số dương \( (a,b,c) \) là “tốt” tương đương với \( abc=1 \). Từ đó, việc chứng minh rằng nếu \( (a,b,c) \) là “tốt” thì \( (c,b,a) \) cũng là “tốt” trở nên đơn giản, vì tích \( cba \) cũng bằng 1.

Đây là một ví dụ điển hình cho việc tìm ra điều kiện tương đương đơn giản sẽ giúp giải quyết bài toán một cách gọn gàng. Chú ý đến việc biến đổi các biểu thức dưới dấu căn để nhận ra dạng bình phương hoàn chỉnh nhé!