Bài tập:

Tại hai điểm O1, O2 trên mặt chất lỏng cách nhau 15 cm có hai nguồn phát sóng kết hợp với pt dao động tại nguồn: \(u_1 = u_2 = 2\cos(20\pi t)\) (cm). Hai sóng truyền với tốc độ không đổi và bằng nhau với v = 20 cm/s.

a, Xác định bước sóng, tần số sóng của các nguồn sóng.
b, Viết pt sóng tổng hợp tại một điểm M trên bề mặt chất lỏng cách hai nguồn lần lượt các khoảng \(d_1 = 14\) cm, \(d_2 = 19\) cm.
c, Tính độ lệch pha của hai sóng tại M.
d, Xác định số điểm dao động cực đại trên đoạn O1O2.

—

Lời giải chi tiết:

a, Xác định bước sóng, tần số sóng của các nguồn sóng.

Chúng ta có phương trình dao động của nguồn sóng là: \(u = A\cos(\omega t)\).

Từ phương trình \(u_1 = u_2 = 2\cos(20\pi t)\) (cm), ta xác định được:

• Biên độ sóng: \(A = 2\) cm.
• Tần số góc: \(\omega = 20\pi\) rad/s.

Chúng ta có mối liên hệ giữa tần số góc \(\omega\) và tần số \(f\) là: \(\omega = 2\pi f\).

Suy ra, tần số sóng là: \(f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{20\pi}{2\pi} = 10\) Hz.

Tiếp theo, chúng ta tính bước sóng \(\lambda\). Mối liên hệ giữa tốc độ truyền sóng \(v\), tần số \(f\) và bước sóng \(\lambda\) là: \(v = \lambda f\).

Với \(v = 20\) cm/s và \(f = 10\) Hz, ta có:

\(\lambda = \frac{v}{f} = \frac{20}{10} = 2\) cm.

Kết luận phần a:

• Tần số sóng: \(f = 10\) Hz.
• Bước sóng: \(\lambda = 2\) cm.

b, Viết pt sóng tổng hợp tại một điểm M trên bề mặt chất lỏng cách hai nguồn lần lượt các khoảng \(d_1 = 14\) cm, \(d_2 = 19\) cm.

Khi hai sóng gặp nhau tại một điểm M, sóng tổng hợp tại M là tổng của hai sóng thành phần.

Phương trình sóng tại điểm M do nguồn O1 truyền đến là: \(u_{1M} = A\cos(\omega t – \frac{2\pi d_1}{\lambda})\).

Phương trình sóng tại điểm M do nguồn O2 truyền đến là: \(u_{2M} = A\cos(\omega t – \frac{2\pi d_2}{\lambda})\).

Ta có: \(A = 2\) cm, \(\omega = 20\pi\) rad/s, \(v = 20\) cm/s, \(\lambda = 2\) cm.

Với \(d_1 = 14\) cm:

\(\frac{2\pi d_1}{\lambda} = \frac{2\pi \times 14}{2} = 14\pi\).

Vậy, \(u_{1M} = 2\cos(20\pi t – 14\pi)\) cm.

Với \(d_2 = 19\) cm:

\(\frac{2\pi d_2}{\lambda} = \frac{2\pi \times 19}{2} = 19\pi\).

Vậy, \(u_{2M} = 2\cos(20\pi t – 19\pi)\) cm.

Phương trình sóng tổng hợp tại M là: \(u_M = u_{1M} + u_{2M}\).

\(u_M = 2\cos(20\pi t – 14\pi) + 2\cos(20\pi t – 19\pi)\) cm.

Chúng ta có thể sử dụng công thức cộng lượng giác: \(\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\).

Ở đây, \(x = 20\pi t – 14\pi\) và \(y = 20\pi t – 19\pi\).

\(\frac{x+y}{2} = \frac{(20\pi t – 14\pi) + (20\pi t – 19\pi)}{2} = \frac{40\pi t – 33\pi}{2} = 20\pi t – 16.5\pi\).

\(\frac{x-y}{2} = \frac{(20\pi t – 14\pi) – (20\pi t – 19\pi)}{2} = \frac{5\pi}{2} = 2.5\pi\).

Vậy, \(u_M = 2 \left[ 2\cos(20\pi t – 16.5\pi)\cos(2.5\pi) \right]\) cm.

Ta biết \(\cos(2.5\pi) = \cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0\).

Do đó, \(u_M = 2 \times 2 \times \cos(20\pi t – 16.5\pi) \times 0 = 0\) cm.

Kết luận phần b:

Phương trình sóng tổng hợp tại M là \(u_M = 0\) cm. Điều này có nghĩa là tại điểm M, hai sóng triệt tiêu lẫn nhau.

c, Tính độ lệch pha của hai sóng tại M.

Độ lệch pha giữa hai sóng tại điểm M được tính bằng hiệu pha của hai sóng thành phần.

\(\Delta \phi = \phi_2 – \phi_1 = (\omega t – \frac{2\pi d_2}{\lambda}) – (\omega t – \frac{2\pi d_1}{\lambda})\).

\(\Delta \phi = \frac{2\pi d_1}{\lambda} – \frac{2\pi d_2}{\lambda} = \frac{2\pi}{\lambda}(d_1 – d_2)\).

Với \(d_1 = 14\) cm, \(d_2 = 19\) cm, và \(\lambda = 2\) cm:

\(\Delta \phi = \frac{2\pi}{2}(14 – 19) = \pi(-5) = -5\pi\).

Độ lệch pha \(-5\pi\) tương đương với độ lệch pha là \(\pi\) (vì \( -5\pi = -\pi – 4\pi \), và \(4\pi\) là bội số của \(2\pi\)). Hai sóng này ngược pha nhau.

Kết luận phần c:

Độ lệch pha của hai sóng tại M là \(-5\pi\) (hay \(\pi\)).

d, Xác định số điểm dao động cực đại trên đoạn O1O2.

Điều kiện để có giao thoa cực đại tại một điểm M trên đoạn O1O2 là hiệu khoảng cách từ M đến hai nguồn phải bằng một số nguyên lần bước sóng: \(d_2 – d_1 = k\lambda\), với \(k\) là số nguyên.

Trên đoạn O1O2, ta có:

• Điểm O1: \(d_1 = 0\), \(d_2 = 15\) cm.
• Điểm O2: \(d_1 = 15\) cm, \(d_2 = 0\).

Xét một điểm M bất kỳ trên đoạn O1O2. Gọi khoảng cách từ O1 đến M là \(x\), thì khoảng cách từ O2 đến M là \(15 – x\).

Ta có \(d_1 = x\) và \(d_2 = 15 – x\).

Hiệu khoảng cách là: \(d_2 – d_1 = (15 – x) – x = 15 – 2x\).

Điều kiện cực đại: \(15 – 2x = k\lambda\).

Thay \(\lambda = 2\) cm vào, ta có: \(15 – 2x = k \times 2\).

\(15 – 2x = 2k\).

\(2x = 15 – 2k\).

\(x = \frac{15 – 2k}{2} = 7.5 – k\).

Do M nằm trên đoạn O1O2, nên \(0 \le x \le 15\).

Ta cần tìm các giá trị nguyên của \(k\) sao cho \(0 \le 7.5 – k \le 15\).

Xét bất đẳng thức thứ nhất: \(0 \le 7.5 – k\)

\(k \le 7.5\).

Xét bất đẳng thức thứ hai: \(7.5 – k \le 15\)

\(-k \le 15 – 7.5\)

\(-k \le 7.5\)

\(k \ge -7.5\).

Vậy, các giá trị nguyên của \(k\) thỏa mãn là: \(-7 \le k \le 7\).

Các giá trị nguyên của \(k\) là: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Số giá trị nguyên của \(k\) là: \(7 – (-7) + 1 = 15\).

Lưu ý quan trọng:

Ở đây chúng ta đã tính số điểm cực đại trên đoạn O1O2. Tuy nhiên, bài toán hỏi “số điểm dao động cực đại trên đoạn O1O2”. Chúng ta cần xem xét xem hai nguồn O1 và O2 có phải là điểm cực đại hay không.

Tại O1: \(d_1 = 0\), \(d_2 = 15\). \(d_2 – d_1 = 15\). \(15 = k \times 2 \implies k = 7.5\). O1 không phải điểm cực đại.

Tại O2: \(d_1 = 15\), \(d_2 = 0\). \(d_2 – d_1 = -15\). \(-15 = k \times 2 \implies k = -7.5\). O2 không phải điểm cực đại.

Do đó, tất cả các điểm cực đại đều nằm hoàn toàn bên trong đoạn O1O2.

Kết luận phần d:

Có 15 điểm dao động cực đại trên đoạn O1O2.

—
Các em đã hiểu rõ cách giải bài tập này chưa? Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé.