Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán vật lý khá thú vị về chuyển động ném xiên và rơi tự do. Đây là một bài toán yêu cầu chúng ta phải phân tích kỹ lưỡng các điều kiện và sử dụng kiến thức về đạo hàm để tìm cực trị. Hãy cùng thầy theo dõi nhé!

Đề bài: Tại thời điểm khi mà một hòn đá bắt đầu rơi từ độ cao H, người ta ném một hòn đá khác từ mặt đất, tại điểm cách quỹ đạo của hòn đá thứ nhất một khoảng cũng bằng H. Hỏi hòn đá ném từ mặt đất phải có vận tốc ban đầu bằng bao nhiêu để trước khi chạm vào hòn đá rơi từ độ cao H nó có vận tốc cực tiểu?

—

Phân tích bài toán và chọn hệ quy chiếu:

Chúng ta có hai hòn đá chuyển động:

1. Hòn đá thứ nhất (S1): Rơi tự do từ độ cao H.
2. Hòn đá thứ hai (S2): Ném từ mặt đất, cách vị trí rơi của S1 một khoảng H.

Để thuận tiện cho việc mô tả chuyển động, ta chọn hệ trục tọa độ Descartes:

• Gốc tọa độ O tại vị trí trên mặt đất, ngay dưới điểm bắt đầu rơi của hòn đá S1.
• Trục Ox nằm ngang, hướng từ O đến vị trí ném hòn đá S2 (tức là hướng về phía hòn đá S2 ban đầu).
• Trục Oy thẳng đứng, hướng lên trên.
• Gia tốc trọng trường \(g\) có phương thẳng đứng, chiều hướng xuống (tức là \(a_y = -g\)).

1. Viết phương trình chuyển động của hai hòn đá:

a) Hòn đá thứ nhất (S1 – rơi tự do):

• Vị trí ban đầu: \(x_{10} = 0\), \(y_{10} = H\).
• Vận tốc ban đầu: \(v_{x10} = 0\), \(v_{y10} = 0\).

Các phương trình chuyển động của S1 tại thời điểm \(t\):

\(x_1(t) = x_{10} + v_{x10}t = 0\)

\(y_1(t) = y_{10} + v_{y10}t – \frac{1}{2}gt^2 = H – \frac{1}{2}gt^2\)

Các phương trình vận tốc của S1 tại thời điểm \(t\):

\(v_{x1}(t) = 0\)

\(v_{y1}(t) = v_{y10} – gt = -gt\)

b) Hòn đá thứ hai (S2 – ném xiên):

• Vị trí ban đầu: \(x_{20} = H\), \(y_{20} = 0\). (Vì S2 được ném từ mặt đất, cách quỹ đạo S1 một khoảng H theo phương ngang).
• Vận tốc ban đầu: Gọi vận tốc ban đầu của S2 là \(v_0\), hợp với phương ngang một góc \( \alpha \). Để S2 có thể va chạm với S1 (nằm trên trục Oy), S2 phải được ném hướng về phía trục Oy.
• Do đó, các thành phần vận tốc ban đầu sẽ là:
  • \(v_{x20} = -v_0 \cos \alpha\) (dấu trừ vì hướng vận tốc theo trục Ox ngược chiều dương đã chọn)
  • \(v_{y20} = v_0 \sin \alpha\)

Các phương trình chuyển động của S2 tại thời điểm \(t\):

\(x_2(t) = x_{20} + v_{x20}t = H – (v_0 \cos \alpha) t\)

\(y_2(t) = y_{20} + v_{y20}t – \frac{1}{2}gt^2 = (v_0 \sin \alpha) t – \frac{1}{2}gt^2\)

Các phương trình vận tốc của S2 tại thời điểm \(t\):

\(v_{x2}(t) = v_{x20} = -v_0 \cos \alpha\)

\(v_{y2}(t) = v_{y20} – gt = v_0 \sin \alpha – gt\)

2. Điều kiện va chạm:

Hai hòn đá va chạm tại một điểm \( (x_c, y_c) \) và tại một thời điểm \( t_c \) khi tọa độ của chúng bằng nhau:

\(x_1(t_c) = x_2(t_c)\)

\(y_1(t_c) = y_2(t_c)\)

Từ điều kiện về tọa độ x:

\(0 = H – (v_0 \cos \alpha) t_c \Rightarrow (v_0 \cos \alpha) t_c = H \quad (1)\)

Từ điều kiện về tọa độ y:

\(H – \frac{1}{2}gt_c^2 = (v_0 \sin \alpha) t_c – \frac{1}{2}gt_c^2\)

\(H = (v_0 \sin \alpha) t_c \quad (2)\)

So sánh phương trình (1) và (2), ta thấy:

\(v_0 \cos \alpha = v_0 \sin \alpha\)

Vì \(v_0 \neq 0\) (nếu \(v_0=0\) thì S2 không chuyển động) và \(t_c \neq 0\), nên ta có:

\(\cos \alpha = \sin \alpha \Rightarrow \tan \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = 45^\circ\)

Vậy, để hai hòn đá có thể va chạm, hòn đá thứ hai phải được ném với góc \(45^\circ\) so với phương ngang.

Thay \( \alpha = 45^\circ \) vào (1) hoặc (2):

\(v_0 \cos 45^\circ = H/t_c \Rightarrow v_0 \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{H}{t_c}\)

Từ đó, ta biểu diễn vận tốc ban đầu \(v_0\) theo thời gian va chạm \(t_c\):

\(v_0 = \frac{\sqrt{2}H}{t_c} \quad (3)\)

3. Vận tốc của hòn đá thứ hai tại thời điểm va chạm \(t_c\):

Chúng ta cần tìm vận tốc của hòn đá S2 tại thời điểm va chạm \(t_c\), tức là \(|\vec{v}_2(t_c)|\).
Các thành phần vận tốc của S2 tại \(t_c\) là:

\(v_{x2}(t_c) = -v_0 \cos \alpha = -v_0 \cos 45^\circ = -v_0 \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(v_{y2}(t_c) = v_0 \sin \alpha – gt_c = v_0 \frac{\sqrt{2}}{2} – gt_c\)

Thay \(v_0 \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{H}{t_c}\) (từ phương trình (1) hoặc (2)) vào các biểu thức trên:

\(v_{x2}(t_c) = -\frac{H}{t_c}\)

\(v_{y2}(t_c) = \frac{H}{t_c} – gt_c\)

Độ lớn bình phương của vận tốc của S2 tại thời điểm va chạm là:

\(v_2^2(t_c) = (v_{x2}(t_c))^2 + (v_{y2}(t_c))^2\)

\(v_2^2(t_c) = \left(-\frac{H}{t_c}\right)^2 + \left(\frac{H}{t_c} – gt_c\right)^2\)

\(v_2^2(t_c) = \frac{H^2}{t_c^2} + \left(\frac{H^2}{t_c^2} – 2 \frac{H}{t_c} gt_c + (gt_c)^2\right)\)

\(v_2^2(t_c) = \frac{H^2}{t_c^2} + \frac{H^2}{t_c^2} – 2gH + g^2 t_c^2\)

\(v_2^2(t_c) = \frac{2H^2}{t_c^2} – 2gH + g^2 t_c^2 \quad (4)\)

4. Tìm điều kiện để vận tốc này đạt cực tiểu:

Để vận tốc \(|\vec{v}_2(t_c)|\) đạt cực tiểu, thì \(v_2^2(t_c)\) cũng phải đạt cực tiểu. Ta sẽ tìm giá trị của \(t_c\) sao cho hàm số \(f(t_c) = \frac{2H^2}{t_c^2} – 2gH + g^2 t_c^2\) đạt cực tiểu.

Lấy đạo hàm của \(f(t_c)\) theo \(t_c\) và cho bằng 0:

\(\frac{df}{dt_c} = \frac{d}{dt_c} \left( 2H^2 t_c^{-2} – 2gH + g^2 t_c^2 \right)\)

\(\frac{df}{dt_c} = 2H^2 (-2) t_c^{-3} + 0 + g^2 (2) t_c\)

\(\frac{df}{dt_c} = -\frac{4H^2}{t_c^3} + 2g^2 t_c\)

Đặt \(\frac{df}{dt_c} = 0\):

\(-\frac{4H^2}{t_c^3} + 2g^2 t_c = 0\)

\(2g^2 t_c = \frac{4H^2}{t_c^3}\)

\(2g^2 t_c^4 = 4H^2\)

\(t_c^4 = \frac{4H^2}{2g^2} = \frac{2H^2}{g^2}\)

\(t_c^2 = \sqrt{\frac{2H^2}{g^2}} = \frac{\sqrt{2}H}{g}\)

\(t_c = \sqrt{\frac{\sqrt{2}H}{g}}\)

(Để xác nhận đây là cực tiểu, ta có thể kiểm tra đạo hàm bậc hai, nhưng với bản chất bài toán vật lý này, thường giá trị tìm được sẽ là cực tiểu.)

5. Tính vận tốc ban đầu \(v_0\):

Bây giờ chúng ta sẽ thay giá trị của \(t_c^2\) vào phương trình (3) để tìm \(v_0\):

Từ (3): \(v_0 = \frac{\sqrt{2}H}{t_c}\)

Bình phương hai vế:

\(v_0^2 = \frac{(\sqrt{2}H)^2}{t_c^2} = \frac{2H^2}{t_c^2}\)

Thay \(t_c^2 = \frac{\sqrt{2}H}{g}\) vào:

\(v_0^2 = \frac{2H^2}{\frac{\sqrt{2}H}{g}} = \frac{2H^2 g}{\sqrt{2}H} = \frac{2gH}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}gH\)

Vậy, vận tốc ban đầu \(v_0\) của hòn đá ném từ mặt đất phải là:

\(v_0 = \sqrt{\sqrt{2}gH} = (2^{1/2}gH)^{1/2} = 2^{1/4} \sqrt{gH}\)

Kết luận:

Để hòn đá ném từ mặt đất có vận tốc cực tiểu ngay trước khi chạm vào hòn đá rơi từ độ cao H, nó phải được ném với vận tốc ban đầu là:

\(v_0 = \sqrt{\sqrt{2}gH}\)

Và góc ném phải là \(45^\circ\) so với phương ngang.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Đây là một bài tập rất hay để rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề trong vật lý!