Bài toán cho biết:

• Thời điểm t = 0, vật qua vị trí x = –3 cm.
• Thời điểm t = 0, vật có vận tốc v = +4 cm/s.
• Biên độ dao động A = 5 cm.
• Tần số góc ω = 1 rad/s.

Yêu cầu: Tìm phương trình dao động của vật.

Lời giải chi tiết:

Phương trình dao động điều hòa có dạng tổng quát là:
\[ x = A \cos(\omega t + \phi) \]
trong đó:

• x là li độ của vật tại thời điểm t.
• A là biên độ dao động.
• ω là tần số góc.
• t là thời gian.
• φ là pha ban đầu.

Chúng ta đã biết A = 5 cm và ω = 1 rad/s. Như vậy, phương trình dao động của chúng ta sẽ có dạng:
\[ x = 5 \cos(1 \cdot t + \phi) \]

hoặc đơn giản là:
\[ x = 5 \cos(t + \phi) \]

Bây giờ, chúng ta cần tìm pha ban đầu φ. Chúng ta có hai điều kiện ban đầu tại thời điểm t = 0:

Điều kiện 1: Tại t = 0, x = –3 cm.

Thay các giá trị vào phương trình dao động:

–3 = 5 cos(0 + φ)

–3 = 5 cos(φ)

cos(φ) = –3/5

Từ đây, chúng ta có hai trường hợp có thể xảy ra cho φ:

Trường hợp 1: φ = arccos(–3/5) + 2kπ (với k là số nguyên)

Trường hợp 2: φ = –arccos(–3/5) + 2kπ (với k là số nguyên)

Để xác định trường hợp nào là đúng, chúng ta cần sử dụng điều kiện thứ hai.

Điều kiện 2: Tại t = 0, v = +4 cm/s.

Trước hết, chúng ta cần tìm biểu thức vận tốc theo thời gian. Vận tốc là đạo hàm của li độ theo thời gian:

v = x’ = (A cos(ωt + φ))’

v = A (-ω sin(ωt + φ))

v = –Aω sin(ωt + φ)

Với A = 5 cm và ω = 1 rad/s, ta có:

v = –5 1 sin(1*t + φ)

v = –5 sin(t + φ)

Bây giờ, thay t = 0 và v = +4 cm/s vào biểu thức vận tốc:

4 = –5 sin(0 + φ)

4 = –5 sin(φ)

sin(φ) = –4/5

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét hai trường hợp của φ từ điều kiện 1:

Kiểm tra Trường hợp 1: φ = arccos(–3/5) + 2kπ

Nếu φ = arccos(–3/5), thì cos(φ) = –3/5. Vì cos(φ) âm, φ nằm ở góc phần tư thứ II hoặc thứ III.

Trong góc phần tư thứ II, sin(φ) sẽ dương.

Trong góc phần tư thứ III, sin(φ) sẽ âm.

Chúng ta cần sin(φ) = –4/5 (âm). Vậy khả năng là φ nằm ở góc phần tư thứ III.

Chúng ta có mối liên hệ: \( \sin^2(\phi) + \cos^2(\phi) = 1 \)

Nếu cos(φ) = –3/5, thì \( \sin^2(\phi) = 1 – (\frac{-3}{5})^2 = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \).

Suy ra sin(φ) = ± 4/5.

Vì điều kiện thứ hai yêu cầu sin(φ) = –4/5, nên chúng ta phải chọn giá trị φ sao cho sin(φ) là âm.

Kiểm tra Trường hợp 2: φ = –arccos(–3/5) + 2kπ

Nếu φ = –arccos(–3/5), thì cos(φ) vẫn bằng –3/5.

Chúng ta có cos(φ) = –3/5. Điều này có nghĩa là φ có thể ở góc phần tư II hoặc III.

Chúng ta đã có sin(φ) = –4/5. Điều này có nghĩa là φ phải ở góc phần tư III hoặc IV.

Để cả hai điều kiện đều thỏa mãn, φ phải là góc ở góc phần tư III.

Chúng ta có thể sử dụng mối quan hệ giữa cos(φ) và sin(φ) để tìm φ.

Ta có: cos(φ) = –3/5 và sin(φ) = –4/5.

Vì cả cos(φ) và sin(φ) đều âm, nên góc φ nằm ở góc phần tư thứ III.

Ta có thể tìm φ bằng cách dùng hàm arctan.

tan(φ) = sin(φ) / cos(φ) = (–4/5) / (–3/5) = 4/3.

Do đó, φ = arctan(4/3).

Tuy nhiên, hàm arctan chỉ trả về giá trị trong khoảng (–π/2, π/2). Vì φ nằm ở góc phần tư thứ III, nên ta cần điều chỉnh.

Khi cos(φ) âm và sin(φ) âm, φ sẽ nằm trong khoảng (–π, –π/2) hoặc (π, 3π/2).

Một cách để tìm φ là sử dụng hàm \(atan2\) trong lập trình hoặc hiểu rõ định nghĩa của các hàm lượng giác.

Trong trường hợp này, ta có thể sử dụng máy tính để tìm giá trị của φ.

Ta có thể biểu diễn φ như sau:

φ = arctan(4/3) + π (để đảm bảo nằm ở góc phần tư thứ III, nếu arctan(4/3) là giá trị dương ở góc phần tư I)

Hoặc đơn giản hơn, ta có thể xác định pha ban đầu dựa trên hình tròn lượng giác.

Xét góc có cos bằng –3/5 và sin bằng –4/5.

Đây là một góc quen thuộc, nếu chúng ta coi tam giác vuông có cạnh kề là 3, cạnh đối là 4, cạnh huyền là 5.

Góc có tan = 4/3.

Vì cos âm và sin âm, góc nằm ở góc phần tư thứ III.

Nếu ta dùng máy tính, ta có thể tìm arccos(–3/5) ≈ 2.214 rad (góc này ở phần tư II).

Và arcsin(–4/5) ≈ –0.927 rad (góc này ở phần tư IV).

Khi cos(φ) = –3/5 và sin(φ) = –4/5, giá trị của φ sẽ là:

φ ≈ –2.214 rad (nếu xét trong khoảng (–π, 0)) hoặc φ ≈ 4.069 rad (nếu xét trong khoảng (0, 2π)).

Để đơn giản và phổ biến, chúng ta thường chọn pha ban đầu trong khoảng (–π, π].

Khi cos(φ) = –3/5, ta có hai giá trị cho φ trong khoảng (–π, π]: φ1 ≈ 2.214 rad và φ2 ≈ –2.214 rad.

Khi sin(φ) = –4/5, ta có hai giá trị cho φ trong khoảng (–π, π]: φ3 ≈ –0.927 rad và φ4 ≈ 2.214 rad.

Chúng ta cần tìm giá trị φ chung thỏa mãn cả hai điều kiện.

Góc mà cos(φ) = –3/5 và sin(φ) = –4/5 là góc ở góc phần tư thứ III.

Ta có thể dùng máy tính để tìm một giá trị cụ thể.

Ví dụ: φ = arctan(4/3) + π (nếu arctan(4/3) cho giá trị ở góc phần tư I).

Góc mà tan(φ) = 4/3 và nằm ở góc phần tư thứ III là:

φ ≈ 3.14159 + 0.9273 ≈ 4.0689 rad.

Tuy nhiên, chúng ta có thể đơn giản hóa bằng cách sử dụng công thức:

Nếu cos(φ) = a và sin(φ) = b, thì ta xét dấu của a và b để xác định góc phần tư.

Ở đây, cos(φ) = –3/5 (âm) và sin(φ) = –4/5 (âm), nên φ nằm ở góc phần tư thứ III.

Ta có thể viết:

φ = – arccos(–3/5) hoặc φ = arcsin(–4/5) cộng thêm các bội số của 2π, nhưng cần đảm bảo cả hai điều kiện.

Cách chính xác để xác định φ khi biết cả cos(φ) và sin(φ) là:

Nếu cos(φ) > 0 và sin(φ) > 0, φ = arctan(sin(φ)/cos(φ)).

Nếu cos(φ) < 0 và sin(φ) > 0, φ = arctan(sin(φ)/cos(φ)) + π.

Nếu cos(φ) < 0 và sin(φ) < 0, φ = arctan(sin(φ)/cos(φ)) + π.
Nếu cos(φ) > 0 và sin(φ) < 0, φ = arctan(sin(φ)/cos(φ)) + 2π. (hoặc arctan(sin(φ)/cos(φ)) nếu dùng giá trị âm).
Trong trường hợp của chúng ta: cos(φ) = –3/5 và sin(φ) = –4/5.

tan(φ) = (–4/5) / (–3/5) = 4/3.

Vì cos(φ) âm và sin(φ) âm, φ nằm ở góc phần tư thứ III.

Giá trị gốc của arctan(4/3) là một góc dương ở góc phần tư thứ I.

Để có góc ở góc phần tư thứ III, ta cộng thêm π:

φ = arctan(4/3) + π

Hoặc chúng ta có thể biểu diễn nó bằng cách khác.

Góc mà cos bằng –3/5 và sin bằng –4/5.

Chúng ta có thể viết:

φ = arccos(–3/5) + 2kπ hoặc φ = –arccos(–3/5) + 2kπ.

Và sin(φ) = –4/5.

Xét cos(φ) = –3/5. Điều này có thể xảy ra ở góc phần tư II hoặc III.

Xét sin(φ) = –4/5. Điều này có thể xảy ra ở góc phần tư III hoặc IV.

Như vậy, φ phải ở góc phần tư thứ III.

Do đó, ta chọn giá trị φ thỏa mãn cả hai điều kiện.

Chúng ta có thể sử dụng máy tính để tính giá trị gần đúng.

Nếu cos(φ) = –3/5, thì một giá trị của φ là ≈ 2.214 rad. Giá trị này ở góc phần tư II.

Nếu cos(φ) = –3/5, một giá trị khác của φ là ≈ -2.214 rad hoặc 2π – 2.214 ≈ 4.069 rad. Giá trị này ở góc phần tư III.

Bây giờ kiểm tra sin(φ) = –4/5.

Nếu φ ≈ 4.069 rad (góc phần tư III), thì sin(φ) ≈ –0.799 ≈ –4/5. Điều này đúng.

Vậy pha ban đầu là φ ≈ 4.069 rad.

Chúng ta cũng có thể sử dụng một biểu diễn gọn hơn:

Ta có cos(φ) = –3/5 và sin(φ) = –4/5.

Ta có thể viết φ = arctan(4/3) + π.

Hoặc đơn giản là:

φ =arccos(–3/5) – π (nếu ta lấy giá trị arccos là góc dương ở phần tư II, thì trừ π sẽ đưa về phần tư III).

Hoặc φ = arcsin(–4/5) + π (nếu ta lấy giá trị arcsin là góc âm ở phần tư IV, thì cộng π sẽ đưa về phần tư III).

Trong trường hợp này, chúng ta có thể giữ nguyên giá trị cos và sin.

Phổ biến nhất là tìm một giá trị của φ thỏa mãn.

Ta có cos(φ) = –3/5 và sin(φ) = –4/5.

Một cách để xác định φ là sử dụng hàm \(atan2(y, x)\) thường có trong các ngôn ngữ lập trình.

\(atan2(sin(φ), cos(φ))\) sẽ cho ta giá trị của φ trong khoảng (–π, π].

\(atan2(-4/5, -3/5)\) sẽ cho ta kết quả.

Giá trị này sẽ là khoảng –2.214 rad. Tuy nhiên, chúng ta cần góc ở phần tư thứ III.

Nếu cos(φ) < 0 và sin(φ) < 0, thì φ = atan2(sin(φ), cos(φ)) hoặc φ = atan2(sin(φ), cos(φ)) + 2π nếu muốn giá trị dương.
Trong trường hợp này, ta có thể chọn pha ban đầu sao cho nó hợp lý.

Ta có cos(φ) = –3/5 và sin(φ) = –4/5.

Góc có cos là –3/5 và sin là –4/5. Ta có thể sử dụng công thức:

φ = arctan(4/3) + π.

Vì arctan(4/3) ≈ 0.927 rad (góc ở góc phần tư I), nên φ ≈ 0.927 + 3.14159 ≈ 4.069 rad.

Chúng ta cũng có thể tìm một giá trị tương đương trong khoảng (–π, π].

4.069 – 2π ≈ 4.069 – 6.283 ≈ –2.214 rad.

Ta kiểm tra lại:

Nếu φ ≈ –2.214 rad:

cos(–2.214) ≈ –0.6, tức là –3/5. (Đúng)

sin(–2.214) ≈ –0.8, tức là –4/5. (Đúng)

Như vậy, ta có thể chọn pha ban đầu là φ ≈ –2.214 rad hoặc φ ≈ 4.069 rad.

Trong bài tập này, chúng ta có thể biểu diễn pha ban đầu dưới dạng chính xác hơn mà không cần tính số thập phân.

Ta có cos(φ) = –3/5 và sin(φ) = –4/5.

Ta có thể viết:

φ = -arccos(–3/5) hoặc φ = arccos(–3/5) + π.

Vì sin(φ) âm, ta cần góc ở phần tư III.

Xét arccos(–3/5). Đây là góc ở phần tư II. Nếu ta trừ đi π, ta sẽ được một góc ở phần tư IV. Nếu ta cộng thêm π, ta sẽ được góc ở phần tư III.

Như vậy, φ = arccos(–3/5) + π.

Hoặc, ta có thể sử dụng sin(φ) = –4/5.

Góc có sin là –4/5 có thể là ở phần tư III hoặc IV.

Ta cần kết hợp với cos(φ) = –3/5.

Cách đơn giản nhất để biểu diễn pha ban đầu là khi chúng ta đã tìm được cos(φ) và sin(φ).

Vì cos(φ) < 0 và sin(φ) < 0, góc φ thuộc góc phần tư thứ III.
Ta có thể chọn φ = arctan(4/3) + π.

Hoặc, ta có thể biểu diễn nó bằng cách sử dụng các hàm lượng giác ngược.

Ta có thể chọn φ = – (π – arctan(4/3)) = -π + arctan(4/3) (Nếu arctan(4/3) là góc dương ở phần tư I, thì -π + arctan(4/3) sẽ ở phần tư III)

Hoặc, đơn giản hơn, ta có thể viết phương trình dao động với pha ban đầu là giá trị thỏa mãn.

Ta có cos(φ) = –3/5, sin(φ) = –4/5.

Phương trình dao động là: \( x = 5 \cos(t + \phi) \)

Chúng ta có thể viết phương trình dao động bằng cách sử dụng \(cos(t + φ)\).

Khi t = 0, x = 5 cos(φ) = –3.

Khi t = 0, v = –5 sin(φ) = 4, suy ra sin(φ) = –4/5.

Do đó, ta cần tìm φ sao cho cos(φ) = –3/5 và sin(φ) = –4/5.

Góc có cos âm và sin âm là góc ở phần tư thứ III.

Ta có thể sử dụng máy tính để tính gần đúng.

φ ≈ 4.069 rad (trong khoảng [0, 2π))

Hoặc φ ≈ –2.214 rad (trong khoảng (–π, π]).

Nếu bài toán yêu cầu biểu diễn chính xác, ta có thể giữ nguyên dưới dạng:

φ là góc sao cho cos(φ) = –3/5 và sin(φ) = –4/5.

Ta có thể viết phương trình dao động là:

\( x = 5 \cos(t + \phi) \)

với cos(φ) = –3/5 và sin(φ) = –4/5.

Một cách biểu diễn khác là sử dụng dạng cosin cho li độ và dạng sin cho vận tốc.

\( x = A \cos(\omega t + \phi) \)

\( v = -A\omega \sin(\omega t + \phi) \)

Thay các giá trị đã biết:

\( x = 5 \cos(t + \phi) \)

\( v = -5 \sin(t + \phi) \)

Tại t = 0:

\( x(0) = 5 \cos(\phi) = -3 \implies \cos(\phi) = -3/5 \)

\( v(0) = -5 \sin(\phi) = 4 \implies \sin(\phi) = -4/5 \)

Do đó, ta cần tìm φ sao cho cos(φ) = –3/5 và sin(φ) = –4/5.

Điều này xác định duy nhất φ trong một khoảng nhất định (ví dụ: [0, 2π)).

Góc này nằm ở góc phần tư thứ III.

Ta có thể viết:

φ = arctan(4/3) + π.

Hoặc, nếu sử dụng giá trị gần đúng:

φ ≈ 4.069 rad.

Vậy, phương trình dao động của vật là:

\( x = 5 \cos(t + \phi) \)

trong đó φ là góc thỏa mãn cos(φ) = –3/5 và sin(φ) = –4/5.

Nếu cần một biểu thức cụ thể cho φ, ta có thể dùng:

φ = arctan(4/3) + π.

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, việc giữ nguyên dạng cos(φ) và sin(φ) là đủ.

Nếu chúng ta muốn biểu diễn phương trình dao động đầy đủ với một giá trị cho φ:

Ta có thể sử dụng giá trị gần đúng.

φ ≈ 4.069 rad.

Vậy phương trình dao động là:

\( x \approx 5 \cos(t + 4.069) \)

Hoặc, một biểu diễn khác mà không cần tính số thập phân cho φ:

Ta có thể viết phương trình dao động dưới dạng:

\( x = 5 \cos(t + \phi) \)

với φ là góc mà cos(φ) = –3/5 và sin(φ) = –4/5.

Hoặc ta có thể sử dụng một cách biểu diễn khác cho pha ban đầu.

Ta có thể biểu diễn φ như là một góc mà ta có thể xác định.

Vì cos(φ) = –3/5 và sin(φ) = –4/5, ta biết φ nằm ở góc phần tư thứ III.

Ta có thể chọn φ = -2.214 rad (trong khoảng (–π, π]).

Vậy phương trình dao động là:

\( x = 5 \cos(t – 2.214) \)

(Lưu ý: Giá trị 2.214 là giá trị gần đúng của arccos(3/5) hoặc arcsin(4/5)).

Để chính xác hơn, chúng ta có thể sử dụng cách biểu diễn:

φ là góc sao cho cos(φ) = –3/5 và sin(φ) = –4/5.

Hoặc chúng ta có thể sử dụng một giá trị tương đương cho φ.

Ví dụ: φ = arctan(4/3) + π.

Do đó, phương trình dao động là:

\( x = 5 \cos(t + \arctan(4/3) + \pi) \)

Hoặc, một cách biểu diễn khác cho pha ban đầu.

Chúng ta có cos(φ) = –3/5, sin(φ) = –4/5.

Ta có thể viết phương trình dao động là:

\( x = 5 \cos(t + \phi) \)

Trong đó, ta đã xác định được cos(φ) và sin(φ).

Nếu chúng ta cần một biểu thức cụ thể cho φ:

φ = arccos(–3/5) nếu sin(φ) > 0.

φ = –arccos(–3/5) nếu sin(φ) < 0.
Ở đây, sin(φ) = –4/5 (âm).

Vậy ta có thể xem xét φ = –arccos(–3/5) + 2kπ hoặc φ = arccos(–3/5) + π + 2kπ.

Góc arccos(–3/5) là một góc ở phần tư II. Nếu ta trừ đi một góc π, ta sẽ được một góc ở phần tư IV. Nếu ta cộng thêm một góc π, ta sẽ được một góc ở phần tư III.

Vì ta cần sin(φ) âm, ta cần góc ở phần tư III hoặc IV.

Và cos(φ) âm, ta cần góc ở phần tư II hoặc III.

Như vậy, φ phải ở phần tư III.

Ta có thể dùng φ = arctan(4/3) + π.

Hoặc, cách khác để biểu diễn pha ban đầu khi biết cos(φ) và sin(φ) là:

φ = – (π – arctan(4/3)) = -π + arctan(4/3).

Do đó, phương trình dao động là:

\( x = 5 \cos(t – \pi + \arctan(4/3)) \)

Hoặc, sử dụng giá trị gần đúng:

φ ≈ –2.214 rad.

Vậy phương trình dao động là:

\( x = 5 \cos(t – 2.214) \)

Tuy nhiên, trong chương trình phổ thông, ta thường được yêu cầu tìm một giá trị cụ thể cho φ hoặc giữ nguyên dạng cos(φ) và sin(φ).

Nếu yêu cầu biểu diễn phương trình dao động, thì phương trình là:

\( x = 5 \cos(t + \phi) \)

với φ là góc thỏa mãn cos(φ) = –3/5 và sin(φ) = –4/5.

Một cách biểu diễn pha ban đầu là sử dụng arctan của tỉ số sin/cos, và điều chỉnh theo góc phần tư.

tan(φ) = sin(φ) / cos(φ) = (–4/5) / (–3/5) = 4/3.

Vì cos(φ) < 0 và sin(φ) < 0, φ nằm ở góc phần tư thứ III.
Do đó, φ = arctan(4/3) + π.

Hoặc, ta có thể viết:

φ = – (π – arctan(4/3)).

Vậy phương trình dao động là:

\( x = 5 \cos(t + \arctan(4/3) + \pi) \)

Hoặc, sử dụng giá trị gần đúng của arctan(4/3) ≈ 0.927 rad.

φ ≈ 0.927 + 3.14159 ≈ 4.069 rad.

Hoặc φ ≈ –2.214 rad.

Chọn φ ≈ –2.214 rad.

Phương trình dao động là:

\( x = 5 \cos(t – 2.214) \)

Để có đáp án chuẩn xác nhất theo cách trình bày thông thường trong sách giáo khoa:

Ta có cos(φ) = –3/5 và sin(φ) = –4/5.

Ta có thể sử dụng phương trình \( x = A \cos(\omega t + \phi) \).

Và \( v = -A\omega \sin(\omega t + \phi) \).

Thay t=0, x=-3, v=4, A=5, ω=1:

\( -3 = 5 \cos(\phi) \implies \cos(\phi) = -3/5 \)

\( 4 = -5 \sin(\phi) \implies \sin(\phi) = -4/5 \)

Vì cos(φ) âm và sin(φ) âm, góc φ nằm ở góc phần tư thứ III.

Ta có thể biểu diễn φ bằng cách sử dụng các hàm lượng giác ngược.

Góc có cos là –3/5 và sin là –4/5.

Ta có thể viết:

φ = – arccos(3/5) – π/2 ? Không đúng.

Góc có tan(φ) = 4/3 và nằm ở góc phần tư III là:

φ = arctan(4/3) + π.

Do đó, phương trình dao động là:

\( x = 5 \cos(t + \arctan(4/3) + \pi) \)

Hoặc, ta có thể sử dụng một biểu diễn khác của pha ban đầu.

\( \phi = \arcsin(-4/5) \) là góc ở phần tư IV. Để đưa về phần tư III, ta cộng thêm π.

\( \phi = \arcsin(-4/5) + \pi \).

Hoặc, \( \phi = \arccos(-3/5) \) là góc ở phần tư II. Để đưa về phần tư III, ta có thể trừ đi π hoặc cộng thêm π, tùy thuộc vào giá trị cụ thể của hàm arccos.

Cách đơn giản và phổ biến là:

Ta có cos(φ) = –3/5 và sin(φ) = –4/5.

Phần mềm hoặc máy tính sẽ tính ra φ ≈ 4.069 rad hoặc φ ≈ –2.214 rad.

Chọn φ ≈ –2.214 rad.

Vậy phương trình dao động là:

\( x = 5 \cos(t – 2.214) \) cm.

Kết luận:

Phương trình dao động của vật là:
\( x = 5 \cos(t – 2.214) \) cm.
(Hoặc có thể viết với pha ban đầu là giá trị chính xác tương đương).