Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán lượng giác khá thú vị: Giải phương trình \( \tan(3x) = \tan(x) \). Bài này không hề phức tạp nếu chúng ta nắm vững kiến thức cơ bản nhé!

Để bắt đầu, các em hãy nhớ lại kiến thức về hàm số tang:

1. Điều kiện xác định của hàm số tang:

Hàm số \( \tan(A) \) được định nghĩa khi và chỉ khi \( \cos(A) \neq 0 \). Điều này có nghĩa là \( A \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \), với \( k \) là một số nguyên.

2. Công thức nghiệm cơ bản của phương trình \( \tan(A) = \tan(B) \):

Nếu \( \tan(A) = \tan(B) \), thì \( A = B + k\pi \), với \( k \) là một số nguyên.

Lý do là vì hàm tang có chu kỳ là \( \pi \). Điều này có nghĩa là giá trị của hàm tang lặp lại sau mỗi \( \pi \) radian.

Bây giờ, chúng ta áp dụng các kiến thức này vào bài toán của chúng ta nhé!

Bài toán: Giải phương trình \( \tan(3x) = \tan(x) \)

Lời giải:

Bước 1: Đặt điều kiện xác định cho phương trình.

Để phương trình có nghĩa, cả \( \tan(3x) \) và \( \tan(x) \) đều phải được xác định.

• \( \tan(x) \) xác định khi \( \cos(x) \neq 0 \), tức là:
  \( x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi \) (với \( n \) là số nguyên).
• \( \tan(3x) \) xác định khi \( \cos(3x) \neq 0 \), tức là:
  \( 3x \neq \frac{\pi}{2} + m\pi \) (với \( m \) là số nguyên).
  Từ đó, \( x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{m\pi}{3} \).

Bước 2: Áp dụng công thức nghiệm cơ bản.

Theo công thức \( \tan(A) = \tan(B) \Leftrightarrow A = B + k\pi \), ta có:

\( 3x = x + k\pi \)

(với \( k \) là một số nguyên)

Bước 3: Giải phương trình tìm \( x \).

Chúng ta chuyển \( x \) sang vế trái:

\( 3x – x = k\pi \)

\( 2x = k\pi \)

Chia cả hai vế cho 2, ta được:

\( x = \frac{k\pi}{2} \)

(với \( k \) là một số nguyên)

Đây là tập hợp các nghiệm tiềm năng của phương trình. Tuy nhiên, chúng ta cần kiểm tra xem các nghiệm này có thỏa mãn điều kiện xác định đã đặt ở Bước 1 hay không.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định.

Chúng ta có nghiệm \( x = \frac{k\pi}{2} \). Hãy thay nó vào các điều kiện ở Bước 1:

Kiểm tra điều kiện của \( \tan(x) \):

Điều kiện là \( x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi \).

Giả sử \( x = \frac{k\pi}{2} \) làm cho \( \tan(x) \) không xác định. Khi đó:

\( \frac{k\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi \)

Chia cả hai vế cho \( \pi \):

\( \frac{k}{2} = \frac{1}{2} + n \)

Nhân cả hai vế với 2:

\( k = 1 + 2n \)

Biểu thức \( 1 + 2n \) luôn cho ra một số nguyên lẻ (ví dụ: nếu \( n=0 \Rightarrow k=1 \); nếu \( n=1 \Rightarrow k=3 \); nếu \( n=-1 \Rightarrow k=-1 \)).

Điều này có nghĩa là, nếu \( k \) là một số nguyên lẻ, thì \( x = \frac{k\pi}{2} \) sẽ làm cho \( \tan(x) \) không xác định. Do đó, để \( \tan(x) \) xác định, \( k \) phải là một số nguyên chẵn.

Kiểm tra điều kiện của \( \tan(3x) \):

Điều kiện là \( 3x \neq \frac{\pi}{2} + m\pi \).

Thay \( x = \frac{k\pi}{2} \) vào \( 3x \):

\( 3x = 3 \cdot \frac{k\pi}{2} = \frac{3k\pi}{2} \)

Giả sử \( x = \frac{k\pi}{2} \) làm cho \( \tan(3x) \) không xác định. Khi đó:

\( \frac{3k\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + m\pi \)

Chia cả hai vế cho \( \pi \):

\( \frac{3k}{2} = \frac{1}{2} + m \)

Nhân cả hai vế với 2:

\( 3k = 1 + 2m \)

Biểu thức \( 1 + 2m \) luôn cho ra một số nguyên lẻ. Điều này có nghĩa là \( 3k \) phải là một số nguyên lẻ.

Để \( 3k \) là số lẻ, thì \( k \) phải là một số nguyên lẻ.

Tổng hợp kết quả kiểm tra điều kiện:

• Từ điều kiện của \( \tan(x) \), chúng ta kết luận \( k \) phải là số chẵn.
• Từ điều kiện của \( \tan(3x) \), chúng ta kết luận \( k \) phải là số lẻ.

Hai điều kiện này mâu thuẫn nhau! Điều này có nghĩa là chúng ta cần cẩn thận hơn một chút. Chúng ta đã kết luận rằng \( k \) phải là số chẵn để \( \tan(x) \) xác định. Nếu \( k \) là số chẵn, liệu \( \tan(3x) \) có bị không xác định không?

Nếu \( k \) là số chẵn, ta có thể viết \( k = 2n \) (với \( n \) là một số nguyên nào đó).

Khi đó, \( x = \frac{(2n)\pi}{2} = n\pi \).

Bây giờ, hãy kiểm tra lại cả hai điều kiện với \( x = n\pi \):

1. Điều kiện cho \( \tan(x) \): \( x \neq \frac{\pi}{2} + \text{số nguyên} \cdot \pi \).

Với \( x = n\pi \), thì \( \cos(n\pi) = (-1)^n \), luôn khác 0. Do đó, \( \tan(n\pi) \) luôn xác định.

2. Điều kiện cho \( \tan(3x) \): \( 3x \neq \frac{\pi}{2} + \text{số nguyên} \cdot \pi \).

Với \( x = n\pi \), thì \( 3x = 3n\pi \). Khi đó, \( \cos(3n\pi) = (-1)^{3n} = (-1)^n \), luôn khác 0. Do đó, \( \tan(3n\pi) \) luôn xác định.

Vậy, điều kiện \( k \) là số chẵn (hay tương đương \( x = n\pi \)) thỏa mãn cả hai điều kiện xác định.

Bước 5: Viết tập nghiệm cuối cùng.

Vì \( k \) phải là một số nguyên chẵn, chúng ta có thể đặt \( k = 2n \) (với \( n \) là một số nguyên).

Thay \( k = 2n \) vào công thức nghiệm \( x = \frac{k\pi}{2} \):

\( x = \frac{(2n)\pi}{2} \)

\( x = n\pi \)

(với \( n \) là một số nguyên bất kỳ)

Kết luận:

Tập nghiệm của phương trình \( \tan(3x) = \tan(x) \) là \( x = n\pi \), với \( n \in \mathbb{Z} \).

Hy vọng phần giải thích chi tiết này giúp các em hiểu rõ bài toán. Nhớ rằng, khi giải phương trình lượng giác, việc đặt điều kiện xác định và kiểm tra nghiệm là vô cùng quan trọng nhé!

Chúc các em học tốt!