`text{Cho }n in Z^+, P(x) in RR[x]. text{Tìm tất cả } P(x): P(x^n)=P^n(x) AA x i...

Question

$text{Cho }n in Z^+, P(x) in RR[x]. text{Tìm tất cả } P(x): P(x^n)=P^n(x) AA x in RR.$

Giáo viên Chuyên Môn · Accepted Answer

Chào các em học sinh lớp 10,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về đa thức rất thú vị và đòi hỏi sự tư duy logic, chặt chẽ. Đây là một dạng bài thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi.

Đề bài: Cho $n \in \mathbb{Z}^+$, $P(x) \in \mathbb{R}[x]$. Tìm tất cả $P(x)$ thỏa mãn:  $P(x^n) = P^n(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Chúng ta hãy cùng phân tích và giải quyết bài toán này từng bước một nhé!

Lời giải:

Bước 1: Xét trường hợp đặc biệt $n=1$.
Nếu $n=1$, phương trình trở thành $P(x^1) = P^1(x)$, tức là $P(x) = P(x)$.
Phương trình này đúng với mọi đa thức $P(x) \in \mathbb{R}[x]$.
Vậy, khi $n=1$, tất cả các đa thức $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ đều là nghiệm.

Bước 2: Xét trường hợp $n > 1$.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách xét bậc của đa thức.

Trường hợp 2.1: $P(x)$ là đa thức hằng.
Giả sử $P(x) = c$ với $c \in \mathbb{R}$.
Thay vào phương trình, ta có: $c = c^n$.
Điều này tương đương với $c^n - c = 0 \Leftrightarrow c(c^{n-1} - 1) = 0$.
Từ đó, ta có hai khả năng:

$c = 0$: Khi đó $P(x) = 0$. Kiểm tra lại: $P(x^n) = 0$, $P^n(x) = 0^n = 0$. Vậy $P(x) = 0$ là một nghiệm.
    $c^{n-1} = 1$:
        
            Nếu $n-1$ là số lẻ (tức là $n$ là số chẵn), thì $c=1$. Khi đó $P(x) = 1$. Kiểm tra lại: $P(x^n) = 1$, $P^n(x) = 1^n = 1$. Vậy $P(x) = 1$ là một nghiệm.
            Nếu $n-1$ là số chẵn (tức là $n$ là số lẻ), thì $c=1$ hoặc $c=-1$.
                
                    $P(x) = 1$. Như trên, đây là nghiệm.
                    $P(x) = -1$. Kiểm tra lại: $P(x^n) = -1$, $P^n(x) = (-1)^n$. Vì $n$ là số lẻ, $(-1)^n = -1$. Vậy $P(x) = -1$ là một nghiệm khi $n$ là số lẻ.

Tóm lại, các nghiệm đa thức hằng là:

$P(x) = 0$.
    $P(x) = 1$.
    $P(x) = -1$ (chỉ khi $n$ là số lẻ).

Trường hợp 2.2: $P(x)$ không phải là đa thức hằng (tức là $P(x)$ có bậc $d \ge 1$).
Gọi $d = \deg(P(x))$. Ta có $d \ge 1$.
Bậc của vế trái: $\deg(P(x^n))$. Nếu $P(x) = a_d x^d + \dots$ với $a_d \neq 0$, thì $P(x^n) = a_d (x^n)^d + \dots = a_d x^{nd} + \dots$. Vậy $\deg(P(x^n)) = nd$.
Bậc của vế phải: $\deg(P^n(x))$. Nếu $P(x) = a_d x^d + \dots$, thì $P^n(x) = (a_d x^d + \dots)^n = a_d^n x^{nd} + \dots$. Vậy $\deg(P^n(x)) = nd$.
Hai bậc này bằng nhau, điều này là nhất quán. Bây giờ chúng ta sẽ so sánh các hệ số.

Đặt $P(x) = a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} + \dots + a_1 x + a_0$, với $a_d \neq 0$.
Từ $P(x^n) = P^n(x)$, ta so sánh hệ số của lũy thừa cao nhất, $x^{nd}$:
$a_d = a_d^n$. Vì $a_d \neq 0$, ta chia cho $a_d$, được $a_d^{n-1} = 1$.

Nếu $n-1$ là số lẻ (tức là $n$ là số chẵn), thì $a_d = 1$.
    Nếu $n-1$ là số chẵn (tức là $n$ là số lẻ), thì $a_d = 1$ hoặc $a_d = -1$.

Bây giờ, hãy so sánh hệ số của lũy thừa thấp nhất. Giả sử $P(x) = a_d x^d + \dots + a_k x^k$ với $a_k \neq 0$ là hệ số của lũy thừa nhỏ nhất (tức là $a_0 = a_1 = \dots = a_{k-1} = 0$).
Khi đó, $P(x^n) = a_d x^{nd} + \dots + a_k x^{nk}$.
Và $P^n(x) = (a_d x^d + \dots + a_k x^k)^n$.
Hệ số của lũy thừa thấp nhất, $x^{nk}$:
$a_k = a_k^n$. Vì $a_k \neq 0$, ta chia cho $a_k$, được $a_k^{n-1} = 1$.

Nếu $n-1$ là số lẻ (tức là $n$ là số chẵn), thì $a_k = 1$.
    Nếu $n-1$ là số chẵn (tức là $n$ là số lẻ), thì $a_k = 1$ hoặc $a_k = -1$.

Chúng ta sẽ xét dạng đa thức $P(x) = c x^m$. (Đây là dạng đơn giản nhất mà $a_d$ và $a_k$ là cùng một hệ số nếu $d=k=m$).
Nếu $P(x) = c x^m$ với $c \neq 0$ và $m \ge 0$.
Thay vào phương trình: $c(x^n)^m = (c x^m)^n$
$c x^{nm} = c^n x^{nm}$.
Để phương trình này đúng với mọi $x$, ta phải có $c = c^n$.
Điều này dẫn đến $c = 1$ hoặc (khi $n$ lẻ) $c = -1$.
Vậy, các đa thức dạng $P(x) = x^m$ với $m \ge 0$ là nghiệm.
Và các đa thức dạng $P(x) = -x^m$ với $m \ge 0$ là nghiệm (chỉ khi $n$ là số lẻ).
Lưu ý: Khi $m=0$, $P(x) = c x^0 = c$, ta có lại các nghiệm hằng $P(x)=1$ và $P(x)=-1$ (khi $n$ lẻ).

Bây giờ, chúng ta chứng minh rằng không có đa thức nào khác ngoài các dạng trên (ngoại trừ $n=1$).
Giả sử $P(x)$ không phải là đa thức một hạng tử (tức là $d > k$).
Như trên, ta có $P(x) = a_d x^d + \dots + a_k x^k$ với $a_d \neq 0, a_k \neq 0$. Các hệ số $a_d$ và $a_k$ thỏa mãn $a_d^{n-1}=1$ và $a_k^{n-1}=1$.
Ta sẽ xét hai vế của phương trình $P(x^n) = P^n(x)$.
$P(x^n) = a_d x^{nd} + a_{d-1} x^{n(d-1)} + \dots + a_k x^{nk}$.
$P^n(x) = (a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} + \dots + a_k x^k)^n$.
Vì $n > 1$, theo khai triển nhị thức (hoặc đa thức), $P^n(x)$ sẽ có các hạng tử trung gian.
Cụ thể, xét hệ số của hạng tử có bậc cao thứ hai trong $P^n(x)$.
Giả sử $j$ là chỉ số lớn nhất sao cho $k 
Trong khai triển của \(P^n(x)$, hạng tử có bậc cao nhất là $(a_d x^d)^n = a_d^n x^{nd}$. Kế tiếp, hạng tử có bậc cao thứ hai sẽ là $n (a_d x^d)^{n-1} (a_j x^j)$ (nếu $a_j$ là hệ số khác 0 lớn nhất sau $a_d$). Hạng tử này có bậc là $nd - d + j$. Hệ số của nó là $n a_d^{n-1} a_j$.
Vì $n>1$, $a_d \neq 0$, $a_j \neq 0$, nên $n a_d^{n-1} a_j \neq 0$.
Bây giờ ta so sánh với $P(x^n)$: $P(x^n)$ chỉ chứa các lũy thừa của $x$ có số mũ là bội số của $n$ (tức là $x^{nd}, x^{n(d-1)}, \dots, x^{nk}$).
Để $n a_d^{n-1} a_j x^{nd-d+j}$ có thể tồn tại trong $P(x^n)$ (tức là không triệt tiêu), thì số mũ $nd-d+j$ phải là một bội số của $n$. Điều này có nghĩa là $(nd-d+j) \pmod n = 0$, hay $-d+j \pmod n = 0$.
Nếu $-d+j$ không chia hết cho $n$, thì hệ số của $x^{nd-d+j}$ trong $P(x^n)$ là $0$. Khi đó, ta phải có $n a_d^{n-1} a_j = 0$, điều này mâu thuẫn với giả thiết $n>1, a_d \neq 0, a_j \neq 0$.
Do đó, $-d+j$ phải là bội số của $n$. Đặt $-d+j = M n$ cho một số nguyên $M$.
Khi đó, $nd-d+j = nd + Mn = n(d+M)$. Tức là $nd-d+j$ là một bội của $n$.
Hệ số của $x^{n(d+M)}$ trong $P(x^n)$ là $a_{d+M}$.
Vậy ta phải có $a_{d+M} = n a_d^{n-1} a_j$.
Ta biết $a_d^{n-1}=1$, nên $a_{d+M} = n a_j$.
Vì $d+M = d + (-d+j)/n$, suy ra $d+M = j + (n-1)(d-j)/n$. (Sửa lại: $d+M = j - (d-j)(n-1)/n$. Điều này không đúng.)
Ta có $m' = d+M = d + (-d+j)/n = (nd-d+j)/n$. Vì $k  0$. Từ $j = Mn+d$, ta có $d-j = -Mn$. Do $d-j > 0$, nên $Mn 
Vậy \(m' = d + M 
Nói cách khác, \(m'$ là một chỉ số nằm giữa $k$ và $d$ hoặc nhỏ hơn $k$.
Nếu $m' \neq j$ và $m' \neq k$, thì $a_{m'}=0$. Khi đó $0 = n a_d^{n-1} a_j$, mâu thuẫn.
Nếu $m' = j$, thì $j = (nd-d+j)/n \Rightarrow nj = nd-d+j \Rightarrow (n-1)j = (n-1)d \Rightarrow j=d$. Điều này mâu thuẫn với giả định $j
Vậy, không thể có \(a_j \neq 0$ với $k 
Điều này có nghĩa là đa thức \(P(x)$ chỉ có thể có hai hạng tử khác 0: $a_d x^d$ và $a_k x^k$.
Tức là, $P(x) = a_d x^d + a_k x^k$, với $d > k \ge 0$.
Ta đã biết $a_d^{n-1}=1$ và $a_k^{n-1}=1$.
Khi đó, $P(x^n) = a_d x^{nd} + a_k x^{nk}$.
Và $P^n(x) = (a_d x^d + a_k x^k)^n$.
Vì $n>1$, theo khai triển nhị thức, $(a_d x^d + a_k x^k)^n$ sẽ có các hạng tử trung gian ngoài $a_d^n x^{nd}$ và $a_k^n x^{nk}$.
Ví dụ, với $m=1$, ta có hạng tử $\binom{n}{1} (a_d x^d)^1 (a_k x^k)^{n-1} = n a_d a_k^{n-1} x^{d+(n-1)k}$.
Bậc của hạng tử này là $d+(n-1)k$.
Vì $d > k$ và $n > 1$, ta có:
$nk 
So sánh \(nk$ và $d+(n-1)k$: $d+(n-1)k - nk = d-k > 0$. Nên $d+(n-1)k > nk$.
So sánh $nd$ và $d+(n-1)k$: $nd - (d+(n-1)k) = (n-1)d - (n-1)k = (n-1)(d-k)$. Vì $n>1$ và $d>k$, nên $ (n-1)(d-k) > 0$. Vậy $nd > d+(n-1)k$.
Do đó, $nk 
Tuy nhiên, \(P(x^n)$ không có hạng tử nào với bậc nằm giữa $nd$ và $nk$ (vì tất cả các bậc đều phải là bội số của $n$).
Điều này có nghĩa là hạng tử $n a_d a_k^{n-1} x^{d+(n-1)k}$ phải bằng 0.
Nhưng $n > 1$, $a_d \neq 0$, $a_k \neq 0$, nên $n a_d a_k^{n-1} \neq 0$. Điều này gây ra mâu thuẫn.
Mâu thuẫn này phát sinh từ giả định $P(x)$ có ít nhất hai hạng tử khác 0 (tức là $d>k$).
Vậy, giả định đó là sai. $P(x)$ phải chỉ có một hạng tử khác 0, tức là $d=k$.
Điều này đưa chúng ta trở lại dạng $P(x) = cx^d$, mà chúng ta đã xét và tìm ra các nghiệm.

Tổng kết các trường hợp:

Nếu $n=1$: Tất cả đa thức $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ đều là nghiệm.
    Nếu $n>1$:
        
            $P(x) = 0$.
            $P(x) = x^d$ với mọi $d \in \mathbb{Z}^+$ (kể cả $d=0$, tức là $P(x)=1$).
            Nếu $n$ là số lẻ: $P(x) = -x^d$ với mọi $d \in \mathbb{Z}^+$ (kể cả $d=0$, tức là $P(x)=-1$).

Để trình bày lời giải một cách ngắn gọn và dễ hiểu, chúng ta có thể tổng hợp lại như sau:

Lời giải chi tiết:

Trường hợp 1: $n=1$.
Phương trình trở thành $P(x) = P(x)$. Điều này đúng với mọi đa thức $P(x) \in \mathbb{R}[x]$.
Vậy, khi $n=1$, tất cả các đa thức trong $\mathbb{R}[x]$ là nghiệm.

Trường hợp 2: $n>1$.
Giả sử $P(x)$ là một đa thức thỏa mãn phương trình.

2.1. Nếu $P(x)$ là đa thức hằng:
Đặt $P(x) = c$, với $c \in \mathbb{R}$.
Thay vào phương trình, ta có $c = c^n \Leftrightarrow c(c^{n-1}-1) = 0$.
Điều này dẫn đến $c=0$ hoặc $c^{n-1}=1$.

Nếu $c=0$, thì $P(x)=0$. Đây là một nghiệm.
    Nếu $c^{n-1}=1$:
        
            Nếu $n$ là số chẵn (tức $n-1$ là số lẻ), thì $c=1$. Vậy $P(x)=1$ là một nghiệm.
            Nếu $n$ là số lẻ (tức $n-1$ là số chẵn), thì $c=1$ hoặc $c=-1$. Vậy $P(x)=1$ và $P(x)=-1$ là các nghiệm.

2.2. Nếu $P(x)$ không phải là đa thức hằng:
Đặt $P(x) = a_d x^d + \dots + a_k x^k$ với $a_d \neq 0$, $a_k \neq 0$, $d \ge 1$, và $k$ là số mũ nhỏ nhất của $x$ có hệ số khác 0 (tức là $a_j=0$ với mọi $j

So sánh bậc cao nhất:
        Bậc của \(P(x^n)$ là $nd$. Bậc của $P^n(x)$ là $nd$.
        So sánh hệ số của $x^{nd}$: $a_d = a_d^n \Rightarrow a_d^{n-1} = 1$.
        
            Nếu $n$ chẵn, $a_d=1$.
            Nếu $n$ lẻ, $a_d=\pm 1$.

So sánh bậc thấp nhất:
        Bậc của hạng tử thấp nhất của $P(x^n)$ là $nk$. Bậc của hạng tử thấp nhất của $P^n(x)$ là $nk$.
        So sánh hệ số của $x^{nk}$: $a_k = a_k^n \Rightarrow a_k^{n-1} = 1$.
        
            Nếu $n$ chẵn, $a_k=1$.
            Nếu $n$ lẻ, $a_k=\pm 1$.

Bây giờ, chúng ta chứng minh rằng $P(x)$ chỉ có thể là một đa thức đơn hạng (monomial), tức là $d=k$.
Giả sử ngược lại, $P(x)$ không phải là đa thức đơn hạng, tức là $d > k$.
Khi đó, $P^n(x) = (a_d x^d + \dots + a_k x^k)^n$. Vì $n>1$, theo khai triển nhị thức (hoặc đa thức), $P^n(x)$ sẽ có ít nhất một hạng tử trung gian với bậc nằm giữa $nk$ và $nd$.
Cụ thể, xét hạng tử $n (a_d x^d)^1 (a_k x^k)^{n-1} = n a_d a_k^{n-1} x^{d+(n-1)k}$.
Hệ số $n a_d a_k^{n-1}$ là khác 0 (vì $n>1$, $a_d \neq 0$, $a_k \neq 0$).
Bậc của hạng tử này là $B = d+(n-1)k$.
Ta có $B - nk = d+(n-1)k - nk = d-k$. Vì $d>k$, nên $d-k>0$, suy ra $B > nk$.
Ta có $nd - B = nd - (d+(n-1)k) = (n-1)d - (n-1)k = (n-1)(d-k)$. Vì $n>1$ và $d>k$, nên $(n-1)(d-k)>0$, suy ra $B 
Vậy \(nk 
Mặt khác, \(P(x^n) = a_d x^{nd} + a_{d-1} x^{n(d-1)} + \dots + a_k x^{nk}$.
Tất cả các số mũ của $x$ trong $P(x^n)$ đều phải là bội của $n$.
Tuy nhiên, bậc $B = d+(n-1)k$. Nếu $B$ không là bội của $n$, thì hạng tử $n a_d a_k^{n-1} x^B$ không thể xuất hiện trong $P(x^n)$, dẫn đến $n a_d a_k^{n-1} = 0$, mâu thuẫn.
Nếu $B$ là bội của $n$, tức là $d+(n-1)k = nM$ với một số nguyên $M$. Điều này có nghĩa là $d-k$ phải là bội của $n$.
Nếu $d-k$ là bội của $n$, tức là $d-k = qn$ với $q \in \mathbb{Z}^+$. Thì $B = d+(n-1)k = k+qn+(n-1)k = nk+qn = n(k+q)$.
Khi đó, hạng tử $n a_d a_k^{n-1} x^{n(k+q)}$ trong $P^n(x)$ phải bằng hạng tử $a_{k+q} x^{n(k+q)}$ trong $P(x^n)$.
Suy ra $a_{k+q} = n a_d a_k^{n-1}$.
Tuy nhiên, vì $d>k$, $q \ge 1$, nên $k+q$ là một chỉ số nằm giữa $k$ và $d$ (vì $k+q = k + (d-k)/n \le d$).
Nếu $k+q \neq d$, thì $a_{k+q}$ phải bằng 0 theo định nghĩa của $P(x)$ (chỉ có $a_d, a_k$ là khác 0).
Vậy $n a_d a_k^{n-1} = 0$, điều này mâu thuẫn.
Nếu $k+q=d$, thì $d = k + (d-k)/n \Rightarrow n(d-k) = d-k \Rightarrow n=1$, điều này mâu thuẫn với giả định $n>1$.
Do đó, giả định $d>k$ là sai. Vậy $P(x)$ phải có dạng $P(x) = c x^d$ (tức $k=d$).
Thay $P(x) = c x^d$ vào phương trình, ta được $c(x^n)^d = (c x^d)^n \Rightarrow c x^{nd} = c^n x^{nd}$.
Điều này tương đương với $c=c^n \Leftrightarrow c(c^{n-1}-1)=0$.
Như đã phân tích ở trường hợp đa thức hằng:

$c=0$: $P(x)=0$.
    $c=1$: $P(x)=x^d$ (với $d \ge 0$).
    Nếu $n$ là số lẻ, $c=-1$: $P(x)=-x^d$ (với $d \ge 0$).

Kết luận cuối cùng:

Nếu $n=1$: Tất cả các đa thức $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ là nghiệm.
    Nếu $n>1$:
        Các đa thức nghiệm là:
        
            $P(x) = 0$.
            $P(x) = x^d$ với mọi số nguyên không âm $d$.
            Nếu $n$ là số lẻ, thì $P(x) = -x^d$ với mọi số nguyên không âm $d$.

Các em nhớ kiểm tra lại kết quả này nhé. Đặc biệt chú ý đến việc phân biệt trường hợp $n$ chẵn và $n$ lẻ khi $c^{n-1}=1$.
Đây là một bài toán hay để rèn luyện kỹ năng làm việc với đa thức và chứng minh bằng phản chứng. Chúc các em học tốt!

 · Answer

TH1 $:n=1$
$->$  Mọi đa thức $ P(x) in RR[x]$ đều th&otilde;a m&atilde;n
TH2 $: n > 1$
Nếu $P(x)$ l&agrave; đa thức hằng , Đặt $P(x) = c$ ($c in RR)$
$=> c = c^n$
Nếu $n$ chẵn $: c =0$ hoặc $c = 1$
Nếu $n$ lẻ $:c=0 $ hoặc $c = 1$ hoặc $c=-1$
Nếu $P(x)$ ko hằng
Đặt $P(x) = a_d . x^d + a_(d - 1) . x^(d - 1) + ... + a_0$
Ta c&oacute; $:P(x^n) =[P(x)]^n$
Đồng nhất hệ số bậc cao nhất
$-> a_d = a_d^n$
Nếu $n$ lẻ $-> a_d = 1$
Nếu $n$ chẵn $->a_d = 1$ hoặc $a_d = -1$
Gọi $a_k$ l&agrave; hệ số  bậc cao thứ hai với $a_k ne 0$ $(k < d)$
$-> P(x) = a_d . x^d + a_k . x^k + ....$
$P(x^n) = [P(x)]^2$
$=> a_d . x^(nd)  + a_k . x^(kd) + ....= (a_d . x^d + a_k . x_k + ...)^2$
Ta c&oacute; $ (a_d . x^d + a_k . x_k + ...)^2 = a_d^n.x^(nd) + n.a_d^(n-1).a_k . x^(d(n-1) + k) + ...$
Số bậc cao thứ hai của hai vế phải bằng nhau
$-> d(n-1) + k = nk$
$-> (d - k)(n - 1) = 0$ (v&ocirc; l&iacute;)
Để hai đa thức bằng nhau th&igrave; hệ số phải bằng $0 : n . a_d^(n - 1) . a_k = 0 => a_k = 0$ (VL)
V&igrave; vậy $P(x)$ ko thể chứa số hạng c&oacute; bậc thấp hơn, tức l&agrave; $P(x) = a_d . k^d$

`text{Cho }n in Z^+, P(x) in RR[x]. text{Tìm tất cả } P(x): P(x^n)=P^n(x) AA x i…

`text{Cho }n in Z^+, P(x) in RR[x]. text{Tìm tất cả } P(x): P(x^n)=P^n(x) AA x i…

`text{Cho }n in Z^+, P(x) in RR[x]. text{Tìm tất cả } P(x): P(x^n)=P^n(x) AA x i…

Về tác giả

về tác giả

Thiên Nam

Add comment Hủy

Giao Hàng Nhanh Chóng

Trả Lại Dễ Dàng Và Nhanh Chóng

Hỗ Trợ Khách Hàng 24/7

Thanh Toán An Toàn 100%

Vị trí