Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về rơi tự do rất quen thuộc. Bài toán này giúp chúng ta củng cố kiến thức về định luật bảo toàn năng lượng và các công thức liên quan đến chuyển động rơi tự do.

Chúng ta có đề bài như sau:

Thả một vật rơi tự do có khối lượng 1 kg độ cao 80 m xuống mặt đất. Lấy \( g = 10 \, m/s^2 \).

a. Tính tốc độ của vật khi chạm đất

b. Tính độ cao của vật khi \( W_t = 2W_đ \)

Để giải bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng định luật bảo toàn cơ năng, vì bỏ qua sức cản của không khí.

Chúng ta có các đại lượng đã biết:

• Khối lượng của vật: \( m = 1 \, kg \)
• Độ cao ban đầu: \( h_1 = 80 \, m \)
• Gia tốc trọng trường: \( g = 10 \, m/s^2 \)

—

Phần a: Tính tốc độ của vật khi chạm đất

Chúng ta sẽ xét hai thời điểm:

• Thời điểm ban đầu (1): Vật được thả rơi từ độ cao \( h_1 = 80 \, m \). Lúc này, vật có vận tốc ban đầu bằng 0 vì nó được thả rơi.
• Thời điểm khi chạm đất (2): Vật đạt đến mặt đất, nghĩa là độ cao \( h_2 = 0 \, m \). Chúng ta cần tìm tốc độ \( v_2 \) tại thời điểm này.

Theo định luật bảo toàn cơ năng, cơ năng tại thời điểm ban đầu bằng cơ năng tại thời điểm chạm đất:
\( W_{c1} = W_{c2} \)

Cơ năng bao gồm động năng (\( W_đ \)) và thế năng (\( W_t \)).
\( W_đ = \frac{1}{2}mv^2 \)
\( W_t = mgh \)

Do đó:
\( W_{đ1} + W_{t1} = W_{đ2} + W_{t2} \)

Chúng ta phân tích từng thành phần:

• Tại thời điểm ban đầu (1):
• Vận tốc ban đầu: \( v_1 = 0 \) (vì thả rơi).
• Động năng ban đầu: \( W_{đ1} = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}m(0)^2 = 0 \).
• Thế năng ban đầu: \( W_{t1} = mgh_1 \).
• Tại thời điểm chạm đất (2):
• Độ cao: \( h_2 = 0 \).
• Thế năng: \( W_{t2} = mgh_2 = mg(0) = 0 \).
• Tốc độ: \( v_2 \) (cần tìm).
• Động năng: \( W_{đ2} = \frac{1}{2}mv_2^2 \).

Thay các giá trị vào phương trình bảo toàn cơ năng:
\( 0 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + 0 \)

\( mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 \)

Chúng ta có thể rút gọn khối lượng \( m \) ở cả hai vế (lưu ý: điều này chỉ đúng khi bỏ qua sức cản không khí, và khối lượng không ảnh hưởng đến tốc độ rơi trong trường hợp này).
\( gh_1 = \frac{1}{2}v_2^2 \)

Để tính \( v_2 \), ta nhân cả hai vế với 2:
\( 2gh_1 = v_2^2 \)

Khai căn bậc hai hai vế để tìm \( v_2 \):
\( v_2 = \sqrt{2gh_1} \)

Bây giờ, chúng ta thay các giá trị đã cho vào công thức:
\( v_2 = \sqrt{2 \times 10 \, m/s^2 \times 80 \, m} \)
\( v_2 = \sqrt{1600 \, m^2/s^2} \)
\( v_2 = 40 \, m/s \)

Vậy, tốc độ của vật khi chạm đất là 40 m/s.

—

Phần b: Tính độ cao của vật khi \( W_t = 2W_đ \)

Ở phần này, chúng ta xét một thời điểm bất kỳ trong quá trình rơi, tại đó thế năng bằng hai lần động năng. Gọi độ cao của vật tại thời điểm này là \( h \) và tốc độ của vật là \( v \).

Chúng ta có các mối liên hệ sau:

• Thế năng tại độ cao \( h \): \( W_t = mgh \)
• Động năng tại tốc độ \( v \): \( W_đ = \frac{1}{2}mv^2 \)
• Điều kiện đề bài cho: \( W_t = 2W_đ \)

Thay biểu thức của \( W_t \) và \( W_đ \) vào điều kiện đề bài:
\( mgh = 2 \times \left(\frac{1}{2}mv^2\right) \)
\( mgh = mv^2 \)

Chúng ta có thể rút gọn khối lượng \( m \) ở cả hai vế:
\( gh = v^2 \)

Đây là một mối liên hệ quan trọng giữa độ cao \( h \) và tốc độ \( v \) tại thời điểm này.

Bây giờ, chúng ta sử dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hai thời điểm:

• Thời điểm ban đầu (1): Vật được thả rơi từ độ cao \( h_1 = 80 \, m \), vận tốc ban đầu \( v_1 = 0 \).
• Thời điểm đang xét (3): Vật ở độ cao \( h \) với tốc độ \( v \).

Cơ năng tại thời điểm ban đầu bằng cơ năng tại thời điểm đang xét:
\( W_{c1} = W_{c3} \)
\( W_{đ1} + W_{t1} = W_{đ3} + W_{t3} \)

Chúng ta đã biết:

• \( W_{đ1} = 0 \)
• \( W_{t1} = mgh_1 \)
• \( W_{đ3} = \frac{1}{2}mv^2 \)
• \( W_{t3} = mgh \)

Thay vào phương trình bảo toàn cơ năng:
\( 0 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh \)

Chia cả hai vế cho \( m \):
\( gh_1 = \frac{1}{2}v^2 + gh \)

Chúng ta đã có mối liên hệ \( v^2 = gh \) từ điều kiện \( W_t = 2W_đ \). Thay \( v^2 \) vào phương trình trên:
\( gh_1 = \frac{1}{2}(gh) + gh \)
\( gh_1 = \frac{3}{2}gh \)

Chúng ta có thể rút gọn \( g \) ở cả hai vế (vì \( g \neq 0 \)):
\( h_1 = \frac{3}{2}h \)

Bây giờ, chúng ta chỉ cần giải phương trình này để tìm \( h \). Nhân cả hai vế với 2:
\( 2h_1 = 3h \)

Chia cả hai vế cho 3:
\( h = \frac{2}{3}h_1 \)

Thay giá trị của \( h_1 = 80 \, m \) vào:
\( h = \frac{2}{3} \times 80 \, m \)
\( h = \frac{160}{3} \, m \)

\( h \approx 53.33 \, m \)

Vậy, độ cao của vật khi thế năng bằng hai lần động năng là \( \frac{160}{3} \, m \) (hoặc xấp xỉ 53.33 m).

—

Các em thấy đó, với kiến thức về định luật bảo toàn cơ năng, chúng ta có thể dễ dàng giải quyết các bài toán về chuyển động rơi tự do. Nhớ là luôn xác định rõ các thời điểm cần xét và các đại lượng tương ứng nhé!

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.