Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán “thần thánh” không kém gì các vị thần trong vũ trụ Marvel đâu nhé. Bài toán này đến từ chính Thanos, kẻ muốn thống trị vũ trụ đấy! Và để tìm 4 viên đá vô cực, chúng ta phải giải được phương trình sau:

Phương trình phong ấn 4 viên đá:

\(\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x \cdot \cos 8x = \frac{1}{16}\)

Thanos còn đặt ra một lời nguyền rất đáng sợ: “Đứa nào dùng máy tính Casio bấm mò là bay màu ngay lập tức!”. Vậy nên, chúng ta không thể dùng cách đó được, phải suy luận và biến đổi thôi!

Bước 1: Biến đổi phương trình bằng cách nhân với \(\sin x\)

Để ý thấy vế trái có tích của các hàm cosin với các góc gấp đôi nhau. Đây là một dạng quen thuộc. Nếu chúng ta nhân cả hai vế của phương trình với \( \sin x \) (với \( \sin x \neq 0 \)), chúng ta sẽ có:

\(\sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x \cdot \cos 8x = \frac{1}{16} \sin x\)

Chúng ta sẽ sử dụng công thức lượng giác quen thuộc: \( \sin(2A) = 2 \sin A \cos A \), suy ra \( \sin A \cos A = \frac{1}{2} \sin(2A) \).

Áp dụng liên tiếp công thức này:

\(\frac{1}{2} \sin 2x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x \cdot \cos 8x = \frac{1}{16} \sin x\)

\(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 4x \cdot \cos 4x \cdot \cos 8x = \frac{1}{16} \sin x\)

\(\frac{1}{4} \sin 4x \cdot \cos 4x \cdot \cos 8x = \frac{1}{16} \sin x\)

\(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \sin 8x \cdot \cos 8x = \frac{1}{16} \sin x\)

\(\frac{1}{8} \sin 8x \cdot \cos 8x = \frac{1}{16} \sin x\)

\(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} \sin 16x = \frac{1}{16} \sin x\)

\(\frac{1}{16} \sin 16x = \frac{1}{16} \sin x\)

Bước 2: Rút gọn và giải phương trình mới

Từ \(\frac{1}{16} \sin 16x = \frac{1}{16} \sin x\), ta có:

\(\sin 16x = \sin x\)

Đây là một phương trình lượng giác cơ bản. Nó có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1:

\(16x = x + k2\pi\), với \( k \in \mathbb{Z} \)

\(15x = k2\pi\)

\(x = \frac{k2\pi}{15}\), với \( k \in \mathbb{Z} \)

Trường hợp 2:

\(16x = \pi – x + m2\pi\), với \( m \in \mathbb{Z} \)

\(17x = \pi + m2\pi\)

\(x = \frac{\pi(1+2m)}{17}\), với \( m \in \mathbb{Z} \)

Bước 3: Kiểm tra điều kiện \(\sin x \neq 0\)

Chúng ta đã nhân cả hai vế với \( \sin x \) ở Bước 1, vì vậy chúng ta cần loại bỏ các nghiệm mà làm cho \( \sin x = 0 \).

\(\sin x = 0 \iff x = n\pi\), với \( n \in \mathbb{Z} \).

Kiểm tra nghiệm từ Trường hợp 1: \( x = \frac{k2\pi}{15} \).

Nếu \( \frac{k2\pi}{15} = n\pi \), thì \( \frac{2k}{15} = n \). Điều này xảy ra khi \( k \) là bội số của 15. Ví dụ, nếu \( k=0 \), thì \( x=0 \), \( \sin x = 0 \). Nếu \( k=15 \), thì \( x=2\pi \), \( \sin x = 0 \).

Do đó, ta cần loại các giá trị \( k \) là bội số của 15. Nghĩa là, \( k \neq 15j \) với \( j \in \mathbb{Z} \).

Kiểm tra nghiệm từ Trường hợp 2: \( x = \frac{\pi(1+2m)}{17} \).

Nếu \( \frac{\pi(1+2m)}{17} = n\pi \), thì \( \frac{1+2m}{17} = n \). Điều này có nghĩa là \( 1+2m \) phải chia hết cho 17. \( 1+2m \) là một số lẻ. Vì 17 là số lẻ, nên có thể có trường hợp này. Tuy nhiên, \( 1+2m \) luôn lẻ, còn 17 lẻ. Để \( \frac{1+2m}{17} \) là số nguyên, thì \( 1+2m \) phải là bội số của 17. Nhưng \( 1+2m \) không thể là bội số của 17 vì \( 1+2m \) luôn lẻ, và \( 17 \times \text{chẵn} \) sẽ là chẵn, còn \( 17 \times \text{lẻ} \) sẽ là lẻ. Tuy nhiên, chúng ta cần xem xét cẩn thận hơn.

Nếu \( 1+2m \) là bội số của 17, ví dụ \( 1+2m = 17 \times \text{số nguyên} \). Vì \( 1+2m \) luôn lẻ, nên \( 17 \times \text{số nguyên} \) phải lẻ, suy ra “số nguyên” phải lẻ. Let “số nguyên” = \( 2p+1 \). Thì \( 1+2m = 17(2p+1) = 34p + 17 \). Suy ra \( 2m = 34p + 16 \), \( m = 17p + 8 \). Đây là một giá trị \( m \) thỏa mãn. Khi đó \( x = \frac{\pi(1+2(17p+8))}{17} = \frac{\pi(1+34p+16)}{17} = \frac{\pi(34p+17)}{17} = \pi(2p+1) = (2p+1)\pi \). Đây là các giá trị \( x \) mà \( \sin x = 0 \).

Vậy, ta cần loại các giá trị \( m \) sao cho \( 1+2m \) là bội số của 17.

Kết luận:

Các nghiệm của phương trình ban đầu là:

1. Các nghiệm từ Trường hợp 1 (loại trừ):

\(x = \frac{k2\pi}{15}\), với \( k \in \mathbb{Z} \) và \( k \) không chia hết cho 15.

2. Các nghiệm từ Trường hợp 2 (loại trừ):

\(x = \frac{\pi(1+2m)}{17}\), với \( m \in \mathbb{Z} \) và \( 1+2m \) không chia hết cho 17.

Đây là 4 viên đá vô cực mà Thanos đã giấu! Các em thấy không, không cần máy tính “bay màu”, chúng ta vẫn có thể chinh phục được nó bằng kiến thức Toán học của mình!