Chào các em học sinh lớp 7! Hôm nay, cô/thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán về thu gọn đa thức, tìm bậc và tính giá trị của đa thức. Các em hãy theo dõi thật kỹ nhé!

Bài toán: Thu gọn và tìm bậc của mỗi đa thức sau rồi tính giá trị của chúng tại \(x = 1, y= -2\).

\(P = 5x^4 – 3x^3y + 2xy^3 – x^3y + 2y^4 – 7x^2y^2 – 2xy^3\)

\(Q = x^3 + z^2y + xy^2 – x^2y – xy^2 – x^3\)

Chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng đa thức một.

a) Với đa thức P:

Đa thức P ban đầu là:

\(P = 5x^4 – 3x^3y + 2xy^3 – x^3y + 2y^4 – 7x^2y^2 – 2xy^3\)

Bước 1: Thu gọn đa thức P

Để thu gọn đa thức, chúng ta cần nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau. Các hạng tử đồng dạng là những hạng tử có phần biến giống hệt nhau (cùng chữ, cùng số mũ).

Trong đa thức P, chúng ta có các cặp hạng tử đồng dạng sau:

• \(-3x^3y\) và \(-x^3y\)
• \(2xy^3\) và \(-2xy^3\)

Các hạng tử còn lại không có hạng tử nào đồng dạng với chúng.

Giờ chúng ta sẽ nhóm chúng lại:

\(P = 5x^4 + (-3x^3y – x^3y) + (2xy^3 – 2xy^3) + 2y^4 – 7x^2y^2\)

Thực hiện phép tính trong các nhóm:

• \(-3x^3y – x^3y = (-3 – 1)x^3y = -4x^3y\)
• \(2xy^3 – 2xy^3 = (2 – 2)xy^3 = 0 \cdot xy^3 = 0\)

Vậy, đa thức P sau khi thu gọn là:

\(P = 5x^4 – 4x^3y + 0 + 2y^4 – 7x^2y^2\)

\(P = 5x^4 – 4x^3y + 2y^4 – 7x^2y^2\)

Bước 2: Tìm bậc của đa thức P

Bậc của một hạng tử là tổng số mũ của tất cả các biến trong hạng tử đó. Bậc của đa thức là bậc cao nhất trong các bậc của các hạng tử (sau khi đã thu gọn).

Xét bậc của từng hạng tử trong đa thức P đã thu gọn:

• Hạng tử \(5x^4\) có bậc là \(4\).
• Hạng tử \(-4x^3y\) có bậc là \(3+1 = 4\).
• Hạng tử \(2y^4\) có bậc là \(4\).
• Hạng tử \(-7x^2y^2\) có bậc là \(2+2 = 4\).

Bậc cao nhất trong các hạng tử này là \(4\).

Vậy, bậc của đa thức P là \(4\).

Bước 3: Tính giá trị của đa thức P tại \(x = 1\) và \(y = -2\)

Chúng ta thay \(x = 1\) và \(y = -2\) vào đa thức P đã thu gọn:

\(P = 5x^4 – 4x^3y + 2y^4 – 7x^2y^2\)

\(P = 5(1)^4 – 4(1)^3(-2) + 2(-2)^4 – 7(1)^2(-2)^2\)

Thực hiện các phép tính lũy thừa:

• \((1)^4 = 1\)
• \((1)^3 = 1\)
• \((-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16\)
• \((1)^2 = 1\)
• \((-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4\)

Thay các giá trị này vào biểu thức của P:

\(P = 5(1) – 4(1)(-2) + 2(16) – 7(1)(4)\)

\(P = 5 – (-8) + 32 – 28\)

\(P = 5 + 8 + 32 – 28\)

\(P = 13 + 32 – 28\)

\(P = 45 – 28\)

\(P = 17\)

Vậy, giá trị của đa thức P tại \(x = 1, y = -2\) là \(17\).

b) Với đa thức Q:

Đa thức Q ban đầu là:

\(Q = x^3 + z^2y + xy^2 – x^2y – xy^2 – x^3\)

(Lưu ý: Trong chương trình lớp 7, các em thường học đa thức chỉ với hai biến. Cô/Thầy giả định hạng tử “z^2y” trong đề bài là “x^2y” để đa thức chỉ chứa biến x và y, phù hợp với việc tính toán giá trị tại x, y đã cho. Nếu “z” là một biến khác, bài toán sẽ cần giá trị của z.)

Với giả định trên, đa thức Q sẽ là:

\(Q = x^3 + x^2y + xy^2 – x^2y – xy^2 – x^3\)

Bước 1: Thu gọn đa thức Q

Chúng ta sẽ nhóm các hạng tử đồng dạng:

• \(x^3\) và \(-x^3\)
• \(x^2y\) và \(-x^2y\)
• \(xy^2\) và \(-xy^2\)

Nhóm chúng lại:

\(Q = (x^3 – x^3) + (x^2y – x^2y) + (xy^2 – xy^2)\)

Thực hiện phép tính trong các nhóm:

• \(x^3 – x^3 = 0\)
• \(x^2y – x^2y = 0\)
• \(xy^2 – xy^2 = 0\)

Vậy, đa thức Q sau khi thu gọn là:

\(Q = 0 + 0 + 0\)

\(Q = 0\)

Bước 2: Tìm bậc của đa thức Q

Vì đa thức Q sau khi thu gọn bằng \(0\) (đây gọi là đa thức không), nên bậc của đa thức Q là không xác định (hoặc không có bậc).

Bước 3: Tính giá trị của đa thức Q tại \(x = 1\) và \(y = -2\)

Vì đa thức Q sau khi thu gọn là \(Q = 0\), điều này có nghĩa là Q luôn bằng 0 với mọi giá trị của \(x\) và \(y\).

Vậy, giá trị của đa thức Q tại \(x = 1, y = -2\) là \(0\).

Vậy là chúng ta đã hoàn thành việc thu gọn, tìm bậc và tính giá trị của cả hai đa thức P và Q. Các em thấy không, việc cẩn thận trong từng bước tính toán là rất quan trọng để có kết quả chính xác.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô/thầy nhé! Chúc các em học tốt!