Chào các em học sinh lớp 7! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại và thực hành một dạng bài toán rất quan trọng trong đại số, đó là phép chia đa thức. Để làm tốt dạng bài này, các em cần nhớ các bước cơ bản:

1. Sắp xếp đa thức: Đảm bảo cả đa thức bị chia và đa thức chia được sắp xếp theo thứ tự lũy thừa giảm dần của biến. Nếu thiếu bậc nào, chúng ta có thể coi hệ số của bậc đó là 0.
2. Chia số hạng đầu tiên: Chia số hạng bậc cao nhất của đa thức bị chia cho số hạng bậc cao nhất của đa thức chia để tìm ra số hạng đầu tiên của thương.
3. Nhân ngược lại: Nhân số hạng vừa tìm được của thương với toàn bộ đa thức chia.
4. Trừ: Lấy đa thức bị chia trừ đi kết quả vừa nhân được.
5. Hạ số hạng tiếp theo: Hạ các số hạng còn lại của đa thức bị chia xuống (nếu có).
6. Lặp lại: Tiếp tục quá trình chia, nhân, trừ cho đến khi bậc của phần dư nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau giải quyết các bài tập cụ thể nhé!

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

b) \((2x^2-10x^3-x^2+15x-3): (2x^2-3)\)

Bước 1: Sắp xếp lại đa thức bị chia theo thứ tự lũy thừa giảm dần của biến và rút gọn các số hạng đồng dạng:

\(2x^2-10x^3-x^2+15x-3 = -10x^3 + (2x^2 – x^2) + 15x – 3 = -10x^3 + x^2 + 15x – 3\)

Đa thức chia đã được sắp xếp: \(2x^2 – 3\)

Vậy, phép chia trở thành: \((-10x^3 + x^2 + 15x – 3) : (2x^2 – 3)\)

Bước 2: Thực hiện phép chia từng bước:

1. Lấy số hạng bậc cao nhất của đa thức bị chia (\(-10x^3\)) chia cho số hạng bậc cao nhất của đa thức chia (\(2x^2\)):
\(-10x^3 \div 2x^2 = -5x\). Đây là số hạng đầu tiên của thương.

2. Nhân số hạng thương vừa tìm được (\(-5x\)) với toàn bộ đa thức chia \((2x^2 – 3)\):
\(-5x \times (2x^2 – 3) = -10x^3 + 15x\)

3. Lấy đa thức bị chia trừ đi kết quả vừa nhân được:
\((-10x^3 + x^2 + 15x – 3) – (-10x^3 + 15x)\)
\(= -10x^3 + x^2 + 15x – 3 + 10x^3 – 15x\)
\(= x^2 – 3\). Đây là phần dư tạm thời.

4. Tiếp tục chia. Lấy số hạng bậc cao nhất của phần dư tạm thời (\(x^2\)) chia cho số hạng bậc cao nhất của đa thức chia (\(2x^2\)):
\(x^2 \div 2x^2 = 1/2\). Đây là số hạng tiếp theo của thương.

5. Nhân số hạng thương vừa tìm được (\(1/2\)) với toàn bộ đa thức chia \((2x^2 – 3)\):
\(1/2 \times (2x^2 – 3) = x^2 – 3/2\)

6. Lấy phần dư tạm thời trước đó trừ đi kết quả vừa nhân được:
\((x^2 – 3) – (x^2 – 3/2)\)
\(= x^2 – 3 – x^2 + 3/2\)
\(= -3 + 3/2 = -6/2 + 3/2 = -3/2\). Đây là phần dư cuối cùng.

Vì bậc của phần dư \(-3/2\) (là bậc 0) nhỏ hơn bậc của đa thức chia \((2x^2 – 3)\) (là bậc 2), nên chúng ta dừng lại.

Kết quả:
Thương là \(-5x + 1/2\)
Số dư là \(-3/2\)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

c) \((x^3-7x+3-x^2):(x-3)\)

Bước 1: Sắp xếp lại đa thức bị chia theo thứ tự lũy thừa giảm dần của biến:

\(x^3-7x+3-x^2 = x^3 – x^2 – 7x + 3\)

Đa thức chia đã được sắp xếp: \(x – 3\)

Vậy, phép chia trở thành: \((x^3 – x^2 – 7x + 3) : (x – 3)\)

Bước 2: Thực hiện phép chia từng bước:

1. Lấy \(x^3\) chia cho \(x\), ta được \(x^2\). (Số hạng đầu tiên của thương)

2. Nhân \(x^2\) với \((x – 3)\): \(x^2 \times (x – 3) = x^3 – 3x^2\)

3. Trừ: \((x^3 – x^2 – 7x + 3) – (x^3 – 3x^2)\)
\(= x^3 – x^2 – 7x + 3 – x^3 + 3x^2\)
\(= 2x^2 – 7x + 3\)

4. Tiếp tục. Lấy \(2x^2\) chia cho \(x\), ta được \(2x\). (Số hạng tiếp theo của thương)

5. Nhân \(2x\) với \((x – 3)\): \(2x \times (x – 3) = 2x^2 – 6x\)

6. Trừ: \((2x^2 – 7x + 3) – (2x^2 – 6x)\)
\(= 2x^2 – 7x + 3 – 2x^2 + 6x\)
\(= -x + 3\)

7. Tiếp tục. Lấy \(-x\) chia cho \(x\), ta được \(-1\). (Số hạng tiếp theo của thương)

8. Nhân \(-1\) với \((x – 3)\): \(-1 \times (x – 3) = -x + 3\)

9. Trừ: \((-x + 3) – (-x + 3) = 0\). Đây là phần dư cuối cùng.

Vì phần dư bằng 0, phép chia này là phép chia hết.

Kết quả:
Thương là \(x^2 + 2x – 1\)
Số dư là \(0\)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

d) \((2x^4-3x^3-2+6x):(x^2-2)\)

Bước 1: Sắp xếp lại đa thức bị chia theo thứ tự lũy thừa giảm dần của biến. Nếu thiếu bậc nào, ta có thể viết thêm với hệ số 0 để dễ theo dõi:

\(2x^4-3x^3-2+6x = 2x^4 – 3x^3 + 0x^2 + 6x – 2\)

Đa thức chia cũng vậy: \(x^2 – 2 = x^2 + 0x – 2\)

Vậy, phép chia trở thành: \((2x^4 – 3x^3 + 0x^2 + 6x – 2) : (x^2 – 2)\)

Bước 2: Thực hiện phép chia từng bước:

1. Lấy \(2x^4\) chia cho \(x^2\), ta được \(2x^2\). (Số hạng đầu tiên của thương)

2. Nhân \(2x^2\) với \((x^2 – 2)\): \(2x^2 \times (x^2 – 2) = 2x^4 – 4x^2\)

3. Trừ: \((2x^4 – 3x^3 + 0x^2 + 6x – 2) – (2x^4 – 4x^2)\)
\(= 2x^4 – 3x^3 + 0x^2 + 6x – 2 – 2x^4 + 4x^2\)
\(= -3x^3 + 4x^2 + 6x – 2\)

4. Tiếp tục. Lấy \(-3x^3\) chia cho \(x^2\), ta được \(-3x\). (Số hạng tiếp theo của thương)

5. Nhân \(-3x\) với \((x^2 – 2)\): \(-3x \times (x^2 – 2) = -3x^3 + 6x\)

6. Trừ: \((-3x^3 + 4x^2 + 6x – 2) – (-3x^3 + 6x)\)
\(= -3x^3 + 4x^2 + 6x – 2 + 3x^3 – 6x\)
\(= 4x^2 – 2\)

7. Tiếp tục. Lấy \(4x^2\) chia cho \(x^2\), ta được \(4\). (Số hạng tiếp theo của thương)

8. Nhân \(4\) với \((x^2 – 2)\): \(4 \times (x^2 – 2) = 4x^2 – 8\)

9. Trừ: \((4x^2 – 2) – (4x^2 – 8)\)
\(= 4x^2 – 2 – 4x^2 + 8\)
\(= 6\). Đây là phần dư cuối cùng.

Vì bậc của phần dư \(6\) (bậc 0) nhỏ hơn bậc của đa thức chia \((x^2 – 2)\) (bậc 2), nên chúng ta dừng lại.

Kết quả:
Thương là \(2x^2 – 3x + 4\)
Số dư là \(6\)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

e) \((9x^4-6x^3+15x^2+2x-1): (3x^2-2x+5)\)

Bước 1: Cả đa thức bị chia và đa thức chia đều đã được sắp xếp theo thứ tự lũy thừa giảm dần của biến.

Đa thức bị chia: \(9x^4 – 6x^3 + 15x^2 + 2x – 1\)

Đa thức chia: \(3x^2 – 2x + 5\)

Bước 2: Thực hiện phép chia từng bước:

1. Lấy \(9x^4\) chia cho \(3x^2\), ta được \(3x^2\). (Số hạng đầu tiên của thương)

2. Nhân \(3x^2\) với toàn bộ đa thức chia \((3x^2 – 2x + 5)\):
\(3x^2 \times (3x^2 – 2x + 5) = 9x^4 – 6x^3 + 15x^2\)

3. Lấy đa thức bị chia trừ đi kết quả vừa nhân được:
\((9x^4 – 6x^3 + 15x^2 + 2x – 1) – (9x^4 – 6x^3 + 15x^2)\)
\(= 9x^4 – 6x^3 + 15x^2 + 2x – 1 – 9x^4 + 6x^3 – 15x^2\)
\(= 2x – 1\). Đây là phần dư.

Vì bậc của phần dư \((2x – 1)\) (bậc 1) nhỏ hơn bậc của đa thức chia \((3x^2 – 2x + 5)\) (bậc 2), nên chúng ta dừng lại.

Kết quả:
Thương là \(3x^2\)
Số dư là \(2x – 1\)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Các em thấy đấy, phép chia đa thức đòi hỏi sự cẩn thận trong việc sắp xếp, tính toán các phép nhân và trừ. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo dạng bài này nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé!