Tìm 1 phân số tối giản,biết rằng khi cộng mẫu số vào tử số và cộng…
Chào em, một câu hỏi số học rất hay và thú vị ở chương trình Toán lớp 7 đúng không nào? Để giải quyết bài toán này, thầy trò mình sẽ cùng nhau đi từng bước thật logic nhé. Em hãy chú ý theo dõi phần hướng dẫn chi tiết dưới đây.
Bước 1: Đặt ẩn cho phân số ban đầu
Gọi phân số cần tìm là a phần b (với điều kiện b khác 0). Vì đây là phân số tối giản, nên ước chung lớn nhất của a và b phải bằng 1.
Bước 2: Lập luận theo giả thiết của đề bài
Đề bài yêu cầu chúng ta thực hiện hai thao tác:
- Cộng mẫu số vào tử số, ta được tử số mới là: a cộng b.
- Cộng mẫu số vào mẫu số, ta được mẫu số mới là: b cộng b, tức là 2 nhân b.
Khi đó, ta tạo được phân số mới là: (a cộng b) phần (2 nhân b).
Bước 3: Lập phương trình toán học
Theo đề bài, phân số mới này lớn gấp 2 lần phân số ban đầu. Do đó, ta có phương trình sau:
(a cộng b) phần (2 nhân b) bằng 2 nhân (a phần b).
Bước 4: Giải phương trình để tìm mối quan hệ giữa a và b
- Đầu tiên, ta rút gọn mẫu số ở hai vế hoặc quy đồng để khử mẫu. Phân số mới có mẫu là 2 nhân b, phân số ban đầu có mẫu là b. Để hai mẫu giống nhau, ta nhân cả tử và mẫu của phân số ban đầu với 2, ta được: (2 nhân a) phần (2 nhân b).
- Lúc này, phân số mới gấp 2 lần phân số cũ, nghĩa là: (a cộng b) phần (2 nhân b) bằng 2 nhân [(2 nhân a) phần (2 nhân b)].
- Hay nói cách khác, ta so sánh tử số với nhau vì mẫu số đã bằng nhau (là 2 nhân b): (a cộng b) bằng 2 nhân (2 nhân a).
- Ta khai triển biểu thức: a cộng b bằng 4 nhân a.
- Chuyển vế để tìm b theo a: b bằng 4 nhân a trừ đi a.
- Kết quả là: b bằng 3 nhân a.
Bước 5: Tìm phân số tối giản
Ta đã có b bằng 3 nhân a. Thay vào phân số ban đầu a phần b, ta được:
Phân số đó trở thành: a phần (3 nhân a).
Rút gọn cả tử và mẫu cho a (với a khác 0), ta được phân số tối giản cuối cùng là: 1 phần 3.
Kết luận:
Phân số tối giản mà chúng ta cần tìm là 1 phần 3. Em có thể thử lại bằng cách lấy tử cộng mẫu (1 cộng 3 bằng 4) và mẫu cộng mẫu (3 cộng 3 bằng 6), ta được phân số mới là 4 phần 6, rút gọn là 2 phần 3. Ta thấy 2 phần 3 đúng bằng 2 lần phân số ban đầu là 1 phần 3. Kết quả hoàn toàn chính xác!
Gọi phân số tối giản đó có dạng là \(\frac{x}{y}\) \((x\) \(∈\) \(N;\) \(y\) \(∈\) N*; \((x,y)\) \(=\) \(1)\)
Theo bài ra ta có:
\(\frac{x+y}{y+y}\) \(=\) \(2\)\(\frac{x}{y}\)
\(⇒\) \(4xy\) \(=\) \(xy\) \(+\) \(y^{2}\)
\(⇒\) \(y^{2}\) \(-\) \(3xy\) \(=\) \(0\)
\(⇒\) \(y(y-3x)\) \(=\) \(0\)
Vì \(y\) \(∈\) \(N*\) nên \(y-3x\) \(=\) \(0\) \(⇒\) \(y\) \(=\) \(3x\) \(⇒\) \(\frac{x}{y}\) \(=\) \(\frac{1}{3}\)
Gọi phân số tối giản cần tìm là \(a/b\) \((a,b inZZ,bne0,ƯCLN(a,b)=1)\)
Theo đề, ta có :
\((a+b)/(b+b)=2.(a/b)\)
\(=>(a+b)/(2b)=(2a)/b\)
\(=>a+b=2.((2a)/b).b\)
\(=>a+b=4a\)
\(=>b=3a\)
\(=>a/b=a/(3a)=1/3\)
Vì \(a/b\) là phân số tối giản nên phân số cần tìm là \(1/3\)
Vậy phân số cần tìm là \(1/3\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment