Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập lại kiến thức về hàm số bậc nhất và cách tìm tham số a, b khi biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm cho trước. Đây là một dạng bài tập rất quan trọng và thường gặp trong các bài kiểm tra, thi cử.

Chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết hai bài tập sau:

Tìm a, b để đồ thị hàm số \( y = ax + b \) đi qua hai điểm:

a) A = (2 ; 3) và B = (1 ; 4)

Lời giải:

Để đồ thị hàm số \( y = ax + b \) đi qua điểm A(2; 3), ta thay tọa độ điểm A vào phương trình hàm số. Điều này có nghĩa là khi \( x = 2 \) thì \( y = 3 \). Ta có:

\( 3 = a \cdot 2 + b \)

Hay viết lại là:

\( 2a + b = 3 \) (1)

Tương tự, để đồ thị hàm số \( y = ax + b \) đi qua điểm B(1; 4), ta thay tọa độ điểm B vào phương trình hàm số. Điều này có nghĩa là khi \( x = 1 \) thì \( y = 4 \). Ta có:

\( 4 = a \cdot 1 + b \)

Hay viết lại là:

\( a + b = 4 \) (2)

Bây giờ, chúng ta có một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn a và b:

Hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
2a + b = 3 \quad &(1) \\
a + b = 4 \quad &(2)
\end{cases}
\]

Chúng ta có thể giải hệ phương trình này bằng nhiều cách, ví dụ như phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Ở đây, cô sẽ dùng phương pháp trừ hai phương trình để loại bỏ biến b.

Lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2):

\( (2a + b) – (a + b) = 3 – 4 \)
\( 2a + b – a – b = -1 \)
\( a = -1 \)

Sau khi tìm được \( a = -1 \), ta thay giá trị này vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm b. Cô sẽ thay vào phương trình (2) vì nó đơn giản hơn:

\( a + b = 4 \)
\( (-1) + b = 4 \)
\( b = 4 + 1 \)
\( b = 5 \)

Vậy, với \( a = -1 \) và \( b = 5 \), đồ thị hàm số \( y = -x + 5 \) sẽ đi qua hai điểm A(2; 3) và B(1; 4).

b) M = (-1 ; -5) và N = (-6 ; 1)

Lời giải:

Tương tự như phần a), ta lần lượt thay tọa độ của điểm M và N vào phương trình hàm số \( y = ax + b \).

Đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1; -5) có nghĩa là khi \( x = -1 \) thì \( y = -5 \). Ta có:

\( -5 = a \cdot (-1) + b \)

Hay viết lại là:

\( -a + b = -5 \) (3)

Đồ thị hàm số đi qua điểm N(-6; 1) có nghĩa là khi \( x = -6 \) thì \( y = 1 \). Ta có:

\( 1 = a \cdot (-6) + b \)

Hay viết lại là:

\( -6a + b = 1 \) (4)

Chúng ta lại có một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn a và b:

Hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
-a + b = -5 \quad &(3) \\
-6a + b = 1 \quad &(4)
\end{cases}
\]

Cô tiếp tục dùng phương pháp trừ hai phương trình để loại bỏ biến b.

Lấy phương trình (3) trừ đi phương trình (4):

\( (-a + b) – (-6a + b) = -5 – 1 \)
\( -a + b + 6a – b = -6 \)
\( 5a = -6 \)
\( a = -\frac{6}{5} \)

Bây giờ, ta thay giá trị \( a = -\frac{6}{5} \) vào phương trình (3) để tìm b:

\( -a + b = -5 \)
\( -(-\frac{6}{5}) + b = -5 \)
\( \frac{6}{5} + b = -5 \)
\( b = -5 – \frac{6}{5} \)

Để trừ hai số này, ta quy đồng mẫu số:

\( b = -\frac{25}{5} – \frac{6}{5} \)
\( b = -\frac{31}{5} \)

Vậy, với \( a = -\frac{6}{5} \) và \( b = -\frac{31}{5} \), đồ thị hàm số \( y = -\frac{6}{5}x – \frac{31}{5} \) sẽ đi qua hai điểm M(-1; -5) và N(-6; 1).

Tổng kết lại:

Để tìm \( a \) và \( b \) cho đồ thị hàm số \( y = ax + b \) đi qua hai điểm \( (x_1, y_1) \) và \( (x_2, y_2) \), chúng ta làm như sau:

1. Thay tọa độ điểm thứ nhất vào phương trình hàm số, ta được phương trình (1).

2. Thay tọa độ điểm thứ hai vào phương trình hàm số, ta được phương trình (2).

3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn \( a \) và \( b \) vừa tìm được.

Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự để nắm vững kiến thức này nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô!