Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán khá thú vị về đa thức và phần dư nhé. Đây là dạng bài thường gặp và rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta.

Đề bài: Tìm a,b sao cho \(f(x)=x^3+ax+b\) ,chia cho \(x+1\) dư 7, chia cho \(x-3\) dư -5.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một công cụ rất mạnh trong Đại số, đó là Định lý Bezout (hay còn gọi là Định lý về phần dư).

Nhắc lại Định lý Bezout:

Nếu một đa thức \(f(x)\) chia cho nhị thức \(x-c\) thì số dư của phép chia đó chính là giá trị của đa thức tại \(x=c\), tức là \(f(c)\).

Bây giờ, chúng ta cùng áp dụng định lý này vào từng điều kiện của đề bài nhé!

Bước 1: Áp dụng Định lý Bezout cho điều kiện thứ nhất.

Đề bài cho biết: \(f(x)\) chia cho \(x+1\) dư 7.

Chúng ta có thể viết \(x+1\) dưới dạng \(x-c\) là \(x-(-1)\). Vậy, giá trị \(c\) ở đây là \(-1\).

Theo Định lý Bezout, số dư của phép chia \(f(x)\) cho \(x+1\) chính là \(f(-1)\).

Vì số dư là 7, nên ta có: \(f(-1) = 7\).

Bây giờ, chúng ta thay \(x = -1\) vào biểu thức của \(f(x)\):

\(f(-1) = (-1)^3 + a(-1) + b\)
\(f(-1) = -1 – a + b\)

Do \(f(-1) = 7\), ta suy ra phương trình đầu tiên:

\(-1 – a + b = 7\)
\(-a + b = 7 + 1\)
\(-a + b = 8\) (1)

Bước 2: Áp dụng Định lý Bezout cho điều kiện thứ hai.

Đề bài cho biết: \(f(x)\) chia cho \(x-3\) dư -5.

Ở đây, giá trị \(c\) là \(3\).

Theo Định lý Bezout, số dư của phép chia \(f(x)\) cho \(x-3\) chính là \(f(3)\).

Vì số dư là -5, nên ta có: \(f(3) = -5\).

Tiếp theo, chúng ta thay \(x = 3\) vào biểu thức của \(f(x)\):

\(f(3) = (3)^3 + a(3) + b\)
\(f(3) = 27 + 3a + b\)

Do \(f(3) = -5\), ta suy ra phương trình thứ hai:

\(27 + 3a + b = -5\)
\(3a + b = -5 – 27\)
\(3a + b = -32\) (2)

Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm \(a\) và \(b\).

Từ Bước 1 và Bước 2, chúng ta có một hệ hai phương trình với hai ẩn \(a\) và \(b\):

1) \(-a + b = 8\)
2) \(3a + b = -32\)

Chúng ta có thể giải hệ này bằng phương pháp cộng đại số (hoặc phương pháp thế).

Để khử ẩn \(b\), ta sẽ lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (1):

\((3a + b) – (-a + b) = -32 – 8\)
\(3a + b + a – b = -40\)
\(4a = -40\)
\(a = \frac{-40}{4}\)
\(a = -10\)

Bây giờ, chúng ta đã tìm được giá trị của \(a\). Để tìm \(b\), ta thay \(a = -10\) vào một trong hai phương trình (chẳng hạn phương trình (1)):

\(-a + b = 8\)
\(-(-10) + b = 8\)
\(10 + b = 8\)
\(b = 8 – 10\)
\(b = -2\)

Kết luận:

Vậy, các giá trị của \(a\) và \(b\) cần tìm là \(a = -10\) và \(b = -2\).

Thầy/cô mong rằng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách áp dụng Định lý Bezout để giải các bài toán tương tự. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!