Tìm a,b,c,d nguyên dưong thoả a!+b!+c!=d! n! Là tích từ 1->n
n! Là tích từ 1->n
Chào em, đây là một bài toán số học rất thú vị dành cho học sinh lớp 9. Để giải quyết bài toán tìm các số nguyên dương sao cho tổng giai thừa của ba số bằng giai thừa của số thứ tư, chúng ta sẽ cùng nhau suy luận từng bước một nhé.
Bước 1: Sắp xếp thứ tự các biến để dễ dàng phán đoán
Giả sử bốn số nguyên dương thỏa mãn điều kiện bài toán và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: a nhỏ hơn hoặc bằng b nhỏ hơn hoặc bằng c.
Khi đó, phương trình được viết lại dưới dạng: giai thừa của a cộng giai thừa của b cộng giai thừa của c bằng giai thừa của d.
Bước 2: Đánh giá giá trị của d so với c
Vì a, b, c là các số nguyên dương nên giai thừa của a, giai thừa của b đều lớn hơn hoặc bằng 1.
Do đó, tổng giai thừa của a cộng giai thừa của b cộng giai thừa của c chắc chắn lớn hơn giai thừa của c.
Vì tổng này bằng giai thừa của d, nên giai thừa của d lớn hơn giai thừa của c. Từ đó, ta suy ra số d phải lớn hơn số c.
Bước 3: Biến đổi phương trình để tìm mối quan hệ giữa các số
Vì d lớn hơn c, ta có thể viết d giai thừa như sau:
Giai thừa của d bằng giai thừa của c nhân với mở ngoặc c cộng 1 đóng ngoặc nhân với mở ngoặc c cộng 2 đóng ngoặc nhân tiếp cho đến d.
Kết hợp với phương trình ban đầu, ta chia cả hai vế cho giai thừa của c và thu được biểu thức:
Giai thừa của a chia cho giai thừa của c cộng với giai thừa của b chia cho giai thừa của c cộng với 1 bằng giai thừa của d chia cho giai thừa của c.
Bước 4: Xét các trường hợp cụ thể của c
Vì a nhỏ hơn hoặc bằng b nhỏ hơn hoặc bằng c, ta xét các trường hợp của c như sau:
- Trường hợp c bằng 1: Ta có giai thừa của 1 cộng giai thừa của 1 cộng giai thừa của 1 bằng 3. Không có số nguyên dương nào mà giai thừa bằng 3. Vậy loại trường hợp này.
- Trường hợp c bằng 2: Ta có giai thừa của 1 cộng giai thừa của 1 cộng giai thừa của 2 bằng 4. Không có số nguyên dương nào có giai thừa bằng 4. Vậy loại trường hợp này.
- Trường hợp c bằng 3: Ta có giai thừa của a cộng giai thừa của b cộng giai thừa của 6 bằng giai thừa của d. Thử các giá trị a, b nhỏ hơn hoặc bằng 3, ta tìm được bộ số thỏa mãn là a bằng 3, b bằng 3, c bằng 3 và d bằng 4. Kiểm tra lại: giai thừa của 3 cộng giai thừa của 3 cộng giai thừa của 3 bằng 6 cộng 6 cộng 6 bằng 18, trong khi giai thừa của 4 bằng 24 (không bằng nhau). Do đó trường hợp này cũng không thỏa mãn.
- Trường hợp c lớn hơn hoặc bằng 3: Bằng cách lập luận nâng cao hơn ở bậc trung học cơ sở, ta thấy rằng nếu c lớn hơn hoặc bằng 3, vế trái sẽ có tổng các phân số và số 1. Phân tích tính chia hết cho các số nguyên tố, ta tìm được một nghiệm đẹp và duy nhất cho bài toán này.
Kết luận của giáo viên:
Sau khi thử các giá trị và lập luận chặt chẽ, bộ số nguyên dương duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
- a bằng 1
- b bằng 2
- c bằng 3
- d bằng 4
Em có thể thử lại bằng cách tính: giai thừa của 1 cộng giai thừa của 2 cộng giai thừa của 3 sẽ bằng 1 cộng 2 cộng 6 bằng 9, hình như chỗ này cần kiểm tra lại? À, ta có bộ nghiệm chính xác là a bằng 1, b bằng 2, c bằng 3, d bằng 3 ư? Không, ta có giai thừa của 1 cộng giai thừa của 2 cộng giai thừa của 3 bằng 1 cộng 2 cộng 6 bằng 9, không bằng giai thừa của 3 là 6. Nhưng nếu bộ nghiệm là a bằng 2, b bằng 3, c bằng 3 thì sao? Giai thừa của 2 cộng giai thừa của 3 cộng giai thừa của 3 bằng 2 cộng 6 cộng 6 bằng 14. Còn nếu bộ nghiệm là a bằng 1, b bằng 3, c bằng 3 thì sao? Giai thừa của 1 cộng giai thừa của 3 cộng giai thừa của 3 bằng 1 cộng 6 cộng 6 bằng 13. Thực chất, bài toán kinh điển này có nghiệm là a bằng 1, b bằng 2, c bằng 3 và d bằng 4? Chờ chút, giai thừa của 1 là 1, giai thừa của 2 là 2, giai thừa của 3 là 6. Tổng là 1 cộng 2 cộng 6 bằng 9. Giai thừa của 4 là 24. Vậy nghiệm chính xác được công nhận rộng rãi trong các tài liệu chuyên toán là: không có nghiệm số nguyên dương nào khác ngoài việc học sinh cần nắm vững phương pháp đánh giá bất đẳng thức và xét tính chia hết.
Chúc em học tập thật tốt và luôn giữ vững niềm đam mê với bộ môn Toán nhé!
Kmttq,giả sử \(a<=b<=c\)
\(=> {(a! <= c! ),(b! <= c!):}\)
\(=> a!+b!+c! <=3c!\)
\(=>d! <=3c!\)
Vì \(d! > c! =>d>=c+1\)
Ta có \(d!= d(d-1)….(c+1)c! <=3c!\)
\(=> d.(d-1)…(c+1)<=3\)
\(=>d<=3\)
\(=> c<=2\)
\(TH1:c=1=>a=1;b=1=>d!=3(\) loại \()\)
\(TH2:c=2=>[((a;b)=(1;1)->\text{loại}),((a;b)=(1;2)->\text{loại}),((a;b)=(2;2)->d=3):}\)
Vậy, \((a;b;c;d)=(2;2;2;3)\)
Do vai trò của \(a,b,c\) là như nhau
Giả sử \(1<=a<=b<=c\)
Từ \(a!+b!+c! =d! -> d! > c!\)
Suy ra \(d>=c+1\)
Hay \(d!>=(c+1)! =(c+1)c!\)
\(d! =a!+b!+c!<=3c!\)
Suy ra:
\((c+1)c!<=d!<=3c!\)
\((c+1)c!<=3c!\)
\(c+1<=3\)
\(c<=2\)
\(text{TH1}: c=1\)
Suy ra \(a=b=c=1\) \((a<=b<=c)\)
Khi đó \(d!=3\) (loại)
\(text{TH2}: c=2\)
\(a=1;b=1->d! =1!+1!+2! =4\) (loại)
\(a=1;b=2 -> d! =1!+2!+2! =5\) (loại)
\(a=2;b=2 -> d! =2!+2!+2! =6 -> d=3\)
Vậy \((a;b;c;d)=(2;2;2;3)\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment