Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách tìm ba chữ số tận cùng của một lũy thừa bằng phương pháp đồng dư thức. Đây là một công cụ rất mạnh mẽ trong số học, giúp chúng ta giải quyết các bài toán lớn một cách hiệu quả.

Tìm ba chữ số tận cùng của một số chính là tìm số dư của số đó khi chia cho 1000. Tức là chúng ta cần tìm \(N \pmod{1000}\).

Bài toán 1: Tìm ba chữ số tận cùng của \(23^{2005}\)

Chúng ta cần tìm giá trị của \(23^{2005} \pmod{1000}\).

Bước 1: Tính phi hàm Euler của 1000.

Phi hàm Euler, ký hiệu là \(\phi(n)\), cho biết số lượng các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng \(n\) và nguyên tố cùng nhau với \(n\).
Đầu tiên, phân tích 1000 ra thừa số nguyên tố:
\(1000 = 10^3 = (2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3\).
Công thức tính phi hàm Euler: \(\phi(n) = n \times (1 – \frac{1}{p_1}) \times (1 – \frac{1}{p_2}) \times \dots \times (1 – \frac{1}{p_k})\), với \(p_i\) là các ước số nguyên tố của \(n\).
Hoặc, nếu \(n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \dots \times p_k^{a_k}\), thì \(\phi(n) = (p_1^{a_1} – p_1^{a_1-1}) \times \dots \times (p_k^{a_k} – p_k^{a_k-1})\).
Áp dụng công thức cho \(n=1000\):
\(\phi(1000) = \phi(2^3 \times 5^3) = \phi(2^3) \times \phi(5^3)\)
\(\phi(2^3) = 2^3 – 2^2 = 8 – 4 = 4\)
\(\phi(5^3) = 5^3 – 5^2 = 125 – 25 = 100\)
Vậy, \(\phi(1000) = 4 \times 100 = 400\).

Bước 2: Áp dụng định lý Euler.

Định lý Euler phát biểu rằng, nếu \(a\) và \(n\) là hai số nguyên tố cùng nhau, thì \(a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\).
Trong bài toán này, \(a = 23\) và \(n = 1000\). Vì 23 là số nguyên tố và không phải là 2 hay 5, nên ƯCLN(23, 1000) = 1.
Theo định lý Euler, ta có:
\(23^{\phi(1000)} \equiv 23^{400} \equiv 1 \pmod{1000}\).

Bước 3: Rút gọn số mũ.

Chúng ta cần tính \(23^{2005} \pmod{1000}\). Để làm điều này, chúng ta chia số mũ \(2005\) cho \(\phi(1000) = 400\):
\(2005 = 400 \times 5 + 5\)
Khi đó, ta có thể viết lại biểu thức \(23^{2005}\) như sau:
\(23^{2005} = 23^{400 \times 5 + 5} = (23^{400})^5 \times 23^5\).
Áp dụng tính chất đồng dư thức, ta có:
\(23^{2005} \equiv (23^{400})^5 \times 23^5 \pmod{1000}\)
Vì \(23^{400} \equiv 1 \pmod{1000}\), ta thay vào:
\(23^{2005} \equiv 1^5 \times 23^5 \pmod{1000}\)
\(23^{2005} \equiv 23^5 \pmod{1000}\).

Bước 4: Tính \(23^5 \pmod{1000}\).

Bây giờ chúng ta cần tính \(23^5\) và tìm số dư khi chia cho 1000:
\(23^1 = 23\)
\(23^2 = 529\)
\(23^3 = 23^2 \times 23 = 529 \times 23 = 12107\)
Vì \(12107 = 12 \times 1000 + 107\), nên \(23^3 \equiv 107 \pmod{1000}\).
\(23^4 = 23^3 \times 23 \equiv 107 \times 23 \pmod{1000}\)
\(107 \times 23 = 2461\)
Vì \(2461 = 2 \times 1000 + 461\), nên \(23^4 \equiv 461 \pmod{1000}\).
\(23^5 = 23^4 \times 23 \equiv 461 \times 23 \pmod{1000}\)
\(461 \times 23 = 10603\)
Vì \(10603 = 10 \times 1000 + 603\), nên \(23^5 \equiv 603 \pmod{1000}\).

Kết luận:
Vậy, ba chữ số tận cùng của \(23^{2005}\) là \(603\).

————————————————–

Bài toán 2: Tìm ba chữ số tận cùng của \(29^{2007}\)

Tương tự như bài toán trước, chúng ta cần tìm giá trị của \(29^{2007} \pmod{1000}\).

Bước 1: Áp dụng định lý Euler.

Chúng ta đã biết \(\phi(1000) = 400\).
Số \(29\) và \(1000\) là hai số nguyên tố cùng nhau (ƯCLN(29, 1000) = 1).
Theo định lý Euler, ta có:
\(29^{\phi(1000)} \equiv 29^{400} \equiv 1 \pmod{1000}\).

Bước 2: Rút gọn số mũ.

Chia số mũ \(2007\) cho \(\phi(1000) = 400\):
\(2007 = 400 \times 5 + 7\)
Khi đó, \(29^{2007}\) có thể viết lại là:
\(29^{2007} = 29^{400 \times 5 + 7} = (29^{400})^5 \times 29^7\).
Áp dụng tính chất đồng dư thức:
\(29^{2007} \equiv (29^{400})^5 \times 29^7 \pmod{1000}\)
\(29^{2007} \equiv 1^5 \times 29^7 \pmod{1000}\)
\(29^{2007} \equiv 29^7 \pmod{1000}\).

Bước 3: Tính \(29^7 \pmod{1000}\).

Chúng ta tính lũy thừa từng bước:
\(29^1 = 29\)
\(29^2 = 841\)
\(29^3 = 29^2 \times 29 = 841 \times 29 = 24389\)
Vì \(24389 = 24 \times 1000 + 389\), nên \(29^3 \equiv 389 \pmod{1000}\).
\(29^4 = 29^3 \times 29 \equiv 389 \times 29 \pmod{1000}\)
\(389 \times 29 = 11281\)
Vì \(11281 = 11 \times 1000 + 281\), nên \(29^4 \equiv 281 \pmod{1000}\).
\(29^5 = 29^4 \times 29 \equiv 281 \times 29 \pmod{1000}\)
\(281 \times 29 = 8149\)
Vì \(8149 = 8 \times 1000 + 149\), nên \(29^5 \equiv 149 \pmod{1000}\).
\(29^6 = 29^5 \times 29 \equiv 149 \times 29 \pmod{1000}\)
\(149 \times 29 = 4321\)
Vì \(4321 = 4 \times 1000 + 321\), nên \(29^6 \equiv 321 \pmod{1000}\).
\(29^7 = 29^6 \times 29 \equiv 321 \times 29 \pmod{1000}\)
\(321 \times 29 = 9309\)
Vì \(9309 = 9 \times 1000 + 309\), nên \(29^7 \equiv 309 \pmod{1000}\).

Kết luận:
Vậy, ba chữ số tận cùng của \(29^{2007}\) là \(309\).

Hy vọng qua hai ví dụ này, các em đã nắm vững cách sử dụng đồng dư thức và định lý Euler để giải các bài toán tìm chữ số tận cùng. Đây là một kỹ thuật rất hữu ích không chỉ trong các kỳ thi mà còn trong việc phát triển tư duy toán học của các em. Chúc các em học tốt!